Newton

MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
Ahora se estudiara un método de segundo orden de convergencia cuando se trata de raíces reales no repetidas. Consiste en un procedimiento que lleva la ecuación f(x)= 0 a la forma x = g(x), de modo que g´( i) = 0. Su deducción se presenta enseguida.
En la sig. Figura se tiene la grafica de f(x) cuyo cruce con el eje x es una raíz real de x


Vamos a suponerun valor inicial que se sitúa en el eje horizontal. Trácese una tangente a la curva en el punto y a partir de ese punto sígase por la tangente hasta si intersección con el eje x; el punto de corte es una nueva aproximación a (hay que observar que se ha reemplazado la curva de f (x) por su tangente en . El proceso se repite comenzando con , seobtiene una nueva aproximación y así sucesivamente, hasta que el valor satisfaga la siguiente relación o ambos. Si lo anterior no se cumpliera en un máximo de iteraciones (MAXIT), debe reiniciarce con un nuevo valor , la ecuación central del algoritmo se obtiene así :

La pendiente de la tangente a la curva en el puntoes:





Fallas del Método Newton - Raphson
Cuando el método Newton- Raphson converge se obtienen los resultados en relativamente pocas iteraciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error E i+1 es proporcional al cuadrado del error anterior. Para precisar mas, supóngase que el error de una iteración es 10(-n), el error siguiente – que esproporcional al cuadrado del error anterior – es entonces aproximadamente 10(-2n), el que sigue será aproximadamente 10(-4n), etc. Des esto puede afirmarse que cada iteración duplica aproximadamente el numero de dígitos incorrectos.
Sin embargo, algunas veces el método de Newton – Raphson no converge sino que oscila. Esto puede ocurrir si no hay raíz real como se ve en la fig. 2.5ª si la raízes un punto de inflexión como en la fig. 2.5b, o si el valor inicial está muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración, como en la fig. 2.5c.
El Método Newton – Raphson requiere la evaluación de la primera derivada de f (x). Es importante discutir algunos, métodos para resolver f (x)=0 que no requieran el cálculo de f(prima), pero que retengan algunas delas propiedades favorables de convergencia del método de Newton – Raphson.



METODO DE LA SECANTE
El método de la secante consiste en aproximar la derivada de de la ecuación siguiente:

Formando con los resultados de las dos iteraciones anteriores , de esto resulta la formula

Para la primera aplicación de la ecuación anterior e inicial el procesoiterativo, se requerirán de dos valores iniciales . La siguiente aproximación , está dada por:


Interpretación Geométrica del Método de la Secante
Los dos miembros de la ecuación x = g (x) se grafican por separado, como se ve en la sig. figura.
Se eligen dos puntos del eje x: y como primeras aproximaciones a .
Se evalúa g (x) en y , y seobtienen los puntos A y B de coordenadas ( x0 , g( x0 )) y
( x1 , g( x1 )), respectivamente.

Los puntos A y B se unen con una línea (secante a la curva y = g(x)) y se sigue por la secante hasta su intersección con la recta y = x. La abscisa correspondiente al punto de intersección es , la nueva aproximación a .

Para obtener X3 se repite el proceso comenzando con x1 y x2 enlugar de x0 y x1.
Este método no garantiza la conversión a una raíz, lo cual puede lograrse con ciertas modificaciones que da lugar al método de bisección.











MÉTODO DE BISECCIÓN
Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda...