Newton

* Método de Newton-Raphson.

OBJETIVO.

Este método consiste de proporcionar un Xi inicial de aproximación a la raíz analítica r en seguida se evalúa la función en Xi obteniendo se f(Xi) setraza una recta tangente que intercepta en Xi+1al eje de las X. A este punto se le llama raíz nueva de aproximación a la r.

Algoritmo:
1. Dada una función f(X)=0 Obtener la Primera ySegunda derivada.
2. Elegir un valor inicial X0. Este valor inicial debe cumplir con el criterio de convergencia:
3. Obtener una nueva aproximación evaluando laformula general del método:
Xn+1=Xn - f(Xn)/ f ´(Xn)

4. Evaluar la aproximación relativa

| (Xn+1 - Xn) / Xn+1 | < Tolerancia
No.(Falso) Repetir el paso 3 y 4
Si . (Verdadero) Entonces Xn+1 Es la Raíz

Si existe una función f(x)=0 y un intervalo [a,b], tenemos una raiz ( y xo una aproximación de (, se extrae dela llamada Serie de Taylor (tomando hasta la 2ª potencia) :



Despejando (, se tiene:









Siguiendo esto como una sucesión, se tiene:



Tenemos la fórmula de Newton-Raphson.Además, existe un estudio de la convergencia del método, en donde G(x) se acota, teniendo la fórmula de convergencia como:





Cabe señalar que el método de Newton-Raphson es convergente enforma cuadrática, es decir, que el número de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior.
Laventaja de este método es que, al ser un método iterativo, éste entrega una sucesión , resoluciones aproximadas, convergiendo más rápidamente al valor buscado y se usan menos operaciones aritméticas.Método de Gauss-Jordan.

Es una variante del método de Gauss y consiste en producir ceros en toda posición no diagonal de cada columna j, ubiando por operación unos en...