Newton

Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3: Aplicaciones
Tema 3.1 Resolución aproximada de
ecuaciones: Método de Newton-Raphson
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior deIngeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3

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Introducción

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permiteaproximar la solución de una ecuación del tipo f (x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una
sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
xj+1 =xj −

f (xj )
.
f 0 (xj )

Por ejemplo, consideremos la ecuación
ex =

1
.
x

En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si representamos
las curvas y = ex , y = 1/x en el intervalox ∈ [0, 4], es evidente que la
ecuación tiene una solución en este intervalo.

1

Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:
1. Expresamos la ecuación en la forma f (x)= 0, e identificamos la función f. En el ejemplo es
f (x) = ex −

1
.
x

f 0 (x) = ex +

1
.
x2

2. Calculamos la derivada

3. Construimos la fórmula de recurrencia
xj+1 = xj −

exj −

exj +

1
xj
1x2j

.

4. Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos
tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamosaproximar la
solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos
aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro
caso, obtendríamos
x0 = 1.0,
x1 = 1 −
x2

e1 − 11
= 0.53788284,
e1 + 112

= x1 −

ex1 −

ex1 +

1
x1
1
x21

= 0. 56627701,

x3 = 0. 56714 258,
x4 = 0. 56714 329,
x5 = 0. 56714 329.
5. Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.
Si empleamos laaplicación de resolución numérica de ecuaciones de la calculadora1 , resulta

1

Numeric Solve. Solve equation. Acceso con Â[4].

2

Actividad 1.1 Calcula el valor de x1 , x2 , x3 , del ejemplo...