newtonraphson

El método Newton Raphson (N-R) es, junto con Bisección, uno de los métodos más populares. Su preferencia radica en su robustez y velocidad al encontrar la raíz. Por ser un método abierto o de puntofijo, debe verificarse su criterio de equivalencia. Quizá el único punto que pudiera tener en contra radica en la necesidad de contar con la primera y la segunda derivadas de la ecuación a resolver.Se aplica a ecuaciones algebraicas y trascendentes y proporciona raíces reales.
Definición del Método y su Interpretación Geométrica.
El nombre original del método de N-R es de las tangentes. Unatangente es una recta que intersecta a una curva en un solo punto; en consecuencia, es perpendicular a su radio. En la figura de abajo se plantea que un valor X0 que representa una aproximación a la raízde la ecuación, se trace una tangente en el punto f(x0). Esta recta tangente deberá cortar al eje horizontal. El punto donde lo corte será la nueva aproximación X1, de tal forma que en el punto f(x1)se trace una nueva tangente. Este proceso se repetirá hasta que el corte de la tangente en el eje horizontal coincida con la raíz de la ecuación, o bien, cuando la diferencia entre dos aproximacionessucesivas cumpla con una tolerancia preestablecida.
De nuevo en la figura de abajo con base en las primeras interacciones, se define la siguiente relación entre el triángulo formado por la rectatangente y el ángulo.





Theta:
(1)
Por otra parte, se conoce que:
(2)
Sustituyendo 2 en 1:(3)
En esta ecuación la incógnita representa la iteración siguiente x1. Despejándola y expresándola en forma iterativa para cualquier iteración:(4)
La ecuación 4 representa la ecuación de recurrencia del método N-R.
Criterio de Convergencia
Por ser un método de punto fijo, el criterio de convergencia que deberá cumplirse...