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CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

p ≠ −1

∫

p
∫ x dx =

x p +1
+C
p +1

1

∫ cos 2 x dx = tgx + C
−1

dx
= ln x + C
x

∫ e dx = e
x

x

2

x

dx =cot gx + C

dx

∫ cosh

+C

a > 0, ∫ a x dx =
a > 0, ∫

∫ sen

ax
+C
ln a

∫

dx
= log a x + C
x ln a

∫

2

= tgh x + C

x

dx

= arcsen x + C

1 − x2
− dx

=arccos x + C

1 − x2
dx

∫ sen xdx = − cos x + C

∫ 1+ x

∫ cos xdx = sen x + C

∫

∫ senh xdx = cosh x + C

∫

∫ cosh xdx = senh x + C

∫ 1− x

2

= arctg x + C

dx
x2 + 1dx
x2 −1

dx

2

= arg senh x + C

= arg cosh x + C

= arg tgh x + C

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si u = u( x ) , entonces

∫ u′( x ) f (u( x ))dx
u′

es inmediata siempre que lo seau′

∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien, ∫ 1 + u
ln x
(ln x ) 2
∫ x dx = 2 + C

∫

ex
dx = arcsen e x + C
1 − e2 x

2

dx = arctg u + C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
Queremos realizar la integral

∫ f ( x )dx

donde

f no

tiene una

primitiva inmediata. Debemosbuscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,

x = g (t )

para el cambio,

dx = g ′(t )dt

∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t)) g ′(t )dt
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.

u = u( x )
y
(uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando
Seanobtenemos

v = v( x)

en ambos lados de la igualdad

uv = ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx .

Por tanto,

∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
Ejemplos:
u = x → du = dx

∫ xe dx = dv = e dx → v = e

x

x

xentonces


x
x
x
x
x
 = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C


dx 

u = ln x → du = 
x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C
∫ ln xdx = 


dv = dx →...