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El diagrama de Bode de ganancias es una recta con pendiente ?20 dB/década. La recta pasa por 0 dB en la frecuencia de 1 rad/s.
(fig.3)
d) Derivador
Un derivador tiene por salida la derivada de la función de entrada. El diagrama de Bode de fases es constante en 90º. Esto es lógico ya que la derivada de un seno es un coseno, que está adelantado 90º respecto el seno.
(5)
El diagrama de Bodede ganancias es una recta con pendiente 20 dB/década. Igual que los integradores, la recta pasa por 0 dB en la frecuencia de 1 rad/s.
(fig.4)
e) Polo simple
Un polo simple es un sistema de primer orden con ganancia estática igual a la unidad.
(6)
Las ganancias y fases de la ecuación (6) se van a particularizar para distintos casos. En la ecuación
(7) se observa cómo la ganancia a bajasfrecuencias es aproximadamente 0 dB. Para altas frecuencias la ganancia se parece a un integrador, una recta de pendiente ?20 dB/década, que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo.
(7)
En la ecuación (8) se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para altas frecuencias ?90º.
(8)
El diagrama de la (fig.5) corroborael comportamiento en ganancias y en fases.
(fig.5)
f) Cero simple
En este apartado se estudia el caso inverso del apartado anterior.
(9)
La ganancia a bajas frecuencias también comienzan en 0 dB, ecuación (10). En cambio, para altas frecuencias la ganancia se comporta como un derivador; una recta de pendiente 20 dB/década, que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo.
(10)
Enfases, ecuación (11) para bajas frecuencias toma valores próximos a 0º y para altas frecuencias aproximadamente 90º.
(11)
El diagrama de Bode de la (fig.6) muestra el comportamiento en ganancias y en fases.
(fig.6)
g) Polo doble
Un polo doble es un sistema de segundo orden con ganancia estática igual a la unidad.

En la ecuación (8.14) se observa cómo la ganancia para bajas frecuencias esaproximadamente 0 dB y para altas frecuencias es una recta de pendiente ?40 dB/década que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la frecuencia natural.

En la ecuación (8.15) se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para altas frecuencias ?180º.

El diagrama de Bode de la Fig. 8.8 muestra el comportamiento en ganancias y en fases.
(fig.7)
En un rango defrecuencias próximo a la frecuencia natural, el diagrama de Bode se comporta de forma distinta en función del amortiguamiento. En la Figura (12) anterior se observa cómo aparece un máximo en el diagrama de ganancias. Se va a emplear la expresión (13) para determinar la magnitud de dicho máximo y a qué frecuencia se produce. En concreto, se va a derivar la expresión del denominador para buscar un mínimo?que será un máximo de la ganancia?.
(15)
Si se estudiara el signo de la segunda derivada, se comprobaría cómo la primera solución, para frecuencia nula, se trata de un máximo del denominador y por tanto un mínimo del diagrama de Bode. La otra solución ωr, llamada frecuencia de resonancia, es el máximo del diagrama de Bode que se había observado.
Si se sustituye el valor de la frecuencia deresonancia en la expresión de la ganancia (13), se obtiene la magnitud del máximo, ecuación (16), que se suele denominar pico de resonancia.
(15)
El fenómeno de la resonancia no siempre existe. Sólo se da para un determinado rango de amortiguamientos. En concreto, aquellos amortiguamientos que hacen positivo el discriminante de la raíz cuadrada de la expresión (15).
(17)
En la ecuación (17)aparece el rango de amortiguamientos con pico de resonancia. Se trata siempre de sistemas subamortiguados, aunque no todos los sistemas subamortiguados poseen pico de resonancia. En la (Fig.8) se muestra cómo varía el diagrama de Bode con el amortiguamiento. Cuanto menor es el amortiguamiento mayor es el pico de resonancia y más próximo está a la frecuencia natural. También cuanto menor es el...