Nigol

Quienes fueron los que iniciaron las primeras nociones en el estudio del cálculo?(ideas de infinitos). 

Hacia el año 1800, los matemáticos empezaron a interesarse por la imprecisión de los conceptos y demostraciones de vastas ramas del análisis. 
Varios matemáticos se resolvieron a poner orden en todo este caos. Las cabezas de lo que frecuentemente es llamado el movimiento crítico decidieronreconstruir el análisis solamente sobre la base de los conceptos aritméticos. Los principios del movimiento coinciden con la creación de la geometría no euclídea. Un grupo totalmente diferente, excepto Gauss, se involucró en esta última actividad y, por lo tanto, es difícil rastrear alguna relación directa entre ella y la decisión de fundar el análisis en la aritmética. Tal vez se llegó a esadecisión porque la esperanza de fundar el análisis sobre la geometría, lo cual muchos matemáticos del siglo XVII afirmaron con frecuencia que sí se podía hacer, fue desechado por la complejidad creciente de los desarrollos del análisis durante el siglo XVIII. Sin embargo, Gauss ya había expresado sus dudas en cuanto a la verdad de la geometría euclídea en 1799 y en 1817 decidió que la verdad residíaúnicamente en la aritmética. Más aún, incluso durante la obra inicial de Gauss y otros en la geometría no euclídea, ya se habían notado imperfecciones en el desarrollo de Euclides. Por tanto, es muy probable que ambos factores causaran desconfianza en la geometría y apresuraran la decisión de fundar el análisis sobre conceptos aritméticos. Esto fue ciertamente lo que las cabezas del movimientocrítico se comprometieron a llevar a cabo. 
El análisis riguroso empieza con la obra de Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet, y Weierstrass lo fomentó. 
Fueron Cauchy y Bolzano quienes iniciaron esta tarea. Para ello, habían comenzado por definir con rigor el concepto de límite, precisamente como soporte para definir la derivada y la integral. 

3) En que siglo se empezó a usar los términos derivada,integral? Y quienes fueron lo desarrollaron? 
La derivada  

Bolzano fue el primero, en 1817, en definir la derivada de una función f (x) como la cantidad f '(x) hacia la que se aproxima el cociente cuando se aproxima a 0 con valores positivos y negativos. Bolzano insistió en que f'(x) no era un cociente de ceros o una razón de cantidades evanescentes sino un número al cual tendía la razónanterior.
Cauchy da una definición igual en la tercera lección de su libro Résumé des Lecons donnéss a l'Écolle Polytechnique sur le Calcul Infinitésimal. Entonces unificó esta noción con la de diferenciales de Leibniz definiendo dx como cualquier cantidad finita y dy como f'(x)dx. En otras palabras, se introducen las cantidades dx y dy cuya razón, por definición, es f'(x). Las diferenciales tienensignificado en términos de la derivada y son meramente una noción auxiliar de la cual se podría prescindir lógicamente, pero son convenientes como una manera de pensar o escribir. Cauchy también señaló lo que significaban las expresiones diferenciales utilizadas durante el siglo XVIII en términos de derivadas.
A continuación clarificó la relación entre el cociente de incrementos y la derivadaf'(x) a través del teorema del valor medio (ya conocido por Lagrange=. La demostración de Cauchy del teorema del valor medio usaba la continuidad de f'(x) en el intervalo dado por incremento de x.
En esta misma lección 3 dedicada a la derivada de funciones de una variable real, Cauchy calculó las derivadas de las funciones elementales, usando, por ejemplo, que tiende a 1 cuando x tiende a 0, paracalcular la derivada del seno y del coseno, o que tiende a e cuando x tiende a 0, para calcular la derivada de exponenciales y logaritmos. De esta forma, hacia el primer cuarto del siglo XIX, el concepto de derivada, que inició su andadura en el siglo XVII, alcanza una fundamentación lógica adecuada, basada en el concepto de límite. Sin embargo, todavía quedaba algún camino por recorrer hasta que...