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Publicado: 26 de octubre de 2012
CAPÍTULO 3
3. SERIES DE TIEMPO
Las series de tiempo son un registro metódico a intervalos de tiempo fijos de las características de una variable, o su observación numérica. Se usan para describir y analizar fenónemos a través del tiempo. Las series de tiempo son en definitiva procesos estocáticos, pero con la restricción de que estén indexados por el tiempo y que los cortes se hagan aintervalos fijos. Definiremos a continuación un proceso estocástico.
3.1 Procesos Estocásticos
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias asociada a un conjunto índice de números reales: es decir a cada elemento del conjunto de números índice, le corresponde una y solo una variable aleatoria.
Sea [pic] el conjunto de números reales índice. Definimos [pic] como lavariable aleatoria correspondiente al elemento [pic] de [pic] (es decir, [pic] está en [pic]). Definimos al proceso estocástico como la familia (o el conjunto) de variables aleatorias { [pic] [pic] [pic] [pic]}
Las series de tiempo discretas, ([pic],[pic],[pic],…,[pic]) son las observaciones de una variable en el tiempo (1,2...n). El proceso estocástico respectivo será: { Z([pic]), Z([pic]),Z([pic]),…..Z([pic]) }. Es decir, una familia (o conjunto) de variables aleatorias. En lo sucesivo el nombre de la variable en (t) y su valor observado, se denotarán por [pic].
Una serie de tiempo observada es simplemente una realización de un proceso estocástico: siempre habrá un elemento probabilístico en las observaciones registradas y observadas.
El comportamiento de una variablealeatoria [pic] se describe por su función de densidad [pic] . El comportamiento de dos variables aleatorias [pic], queda descrito por su función de densidad conjunta [pic], y si éstas son variables aleatorias independientes: [pic].
En el análisis de series de tiempo se establece el supuesto de que las observaciones no provienen de variables aleatorias independientes: se supone que existe todauna estructura de correlación entre las observaciones; por lo que no es fácil obtener la función de densidad conjunta.
3.1.1. Ventajas de aplicar procesos estocásticos a series de tiempo:
• Flexibilidad para representar un amplio número de fenómenos mediante una sola clase general de modelos.
• Facilidad y precisión en pronósticos.
• Generalizar métodos de análisisde variables individuales a grupos de variables.
Ahora analizaremos los procesos determinísticos. Para ello, vamos utilizar ciertas herramientas de las ecuaciones en diferencia.
• Su solución.
• Condiciones para llegar al equilibrio.
“Temporalmente” hacemos caso omiso a la aleatoriedad. Luego, ya haremos un símil entre equilibrio y estacionariedad.
3.2Ecuaciones en diferencia:
Operador incremento [pic]:
[pic]
La ecuacion: [pic]
Se puede escribir como: [pic]
La solución general de dicha ecuación es:
[pic]
Es fácil probar que la solución de la ecuación diferencial 1, está dada por la ecuación 2 : aplicando a la ecuación 2 el operador; [pic] seobtiene la ecuación (1).
La solución particular requiere información adicional para calcular el valor de [pic]. Más generalmente, conociendo la condición inicial [pic], se tendría que [pic], y la solución de la ecuación en diferencia sería:[pic] si suponemos que [pic], cuando [pic]; [pic] tiende a cero y [pic] tiende a: [pic]
El método iterativo o “pedestre”, permite tambiénresolver una ecuación en diferencia.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ecuaciones en diferencia de segundo orden:
[pic]
3.3. Tipos de series de tiempo:
3.3.1. Series de tiempo estacionarias.-
Una vez definida la función de autocavarianza, podremos definir la estacionariedad de un proceso estocástico, en este caso, de una serie de...
3. SERIES DE TIEMPO
Las series de tiempo son un registro metódico a intervalos de tiempo fijos de las características de una variable, o su observación numérica. Se usan para describir y analizar fenónemos a través del tiempo. Las series de tiempo son en definitiva procesos estocáticos, pero con la restricción de que estén indexados por el tiempo y que los cortes se hagan aintervalos fijos. Definiremos a continuación un proceso estocástico.
3.1 Procesos Estocásticos
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias asociada a un conjunto índice de números reales: es decir a cada elemento del conjunto de números índice, le corresponde una y solo una variable aleatoria.
Sea [pic] el conjunto de números reales índice. Definimos [pic] como lavariable aleatoria correspondiente al elemento [pic] de [pic] (es decir, [pic] está en [pic]). Definimos al proceso estocástico como la familia (o el conjunto) de variables aleatorias { [pic] [pic] [pic] [pic]}
Las series de tiempo discretas, ([pic],[pic],[pic],…,[pic]) son las observaciones de una variable en el tiempo (1,2...n). El proceso estocástico respectivo será: { Z([pic]), Z([pic]),Z([pic]),…..Z([pic]) }. Es decir, una familia (o conjunto) de variables aleatorias. En lo sucesivo el nombre de la variable en (t) y su valor observado, se denotarán por [pic].
Una serie de tiempo observada es simplemente una realización de un proceso estocástico: siempre habrá un elemento probabilístico en las observaciones registradas y observadas.
El comportamiento de una variablealeatoria [pic] se describe por su función de densidad [pic] . El comportamiento de dos variables aleatorias [pic], queda descrito por su función de densidad conjunta [pic], y si éstas son variables aleatorias independientes: [pic].
En el análisis de series de tiempo se establece el supuesto de que las observaciones no provienen de variables aleatorias independientes: se supone que existe todauna estructura de correlación entre las observaciones; por lo que no es fácil obtener la función de densidad conjunta.
3.1.1. Ventajas de aplicar procesos estocásticos a series de tiempo:
• Flexibilidad para representar un amplio número de fenómenos mediante una sola clase general de modelos.
• Facilidad y precisión en pronósticos.
• Generalizar métodos de análisisde variables individuales a grupos de variables.
Ahora analizaremos los procesos determinísticos. Para ello, vamos utilizar ciertas herramientas de las ecuaciones en diferencia.
• Su solución.
• Condiciones para llegar al equilibrio.
“Temporalmente” hacemos caso omiso a la aleatoriedad. Luego, ya haremos un símil entre equilibrio y estacionariedad.
3.2Ecuaciones en diferencia:
Operador incremento [pic]:
[pic]
La ecuacion: [pic]
Se puede escribir como: [pic]
La solución general de dicha ecuación es:
[pic]
Es fácil probar que la solución de la ecuación diferencial 1, está dada por la ecuación 2 : aplicando a la ecuación 2 el operador; [pic] seobtiene la ecuación (1).
La solución particular requiere información adicional para calcular el valor de [pic]. Más generalmente, conociendo la condición inicial [pic], se tendría que [pic], y la solución de la ecuación en diferencia sería:[pic] si suponemos que [pic], cuando [pic]; [pic] tiende a cero y [pic] tiende a: [pic]
El método iterativo o “pedestre”, permite tambiénresolver una ecuación en diferencia.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ecuaciones en diferencia de segundo orden:
[pic]
3.3. Tipos de series de tiempo:
3.3.1. Series de tiempo estacionarias.-
Una vez definida la función de autocavarianza, podremos definir la estacionariedad de un proceso estocástico, en este caso, de una serie de...
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