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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Derivadas parciales de segundo orden: Las funciones derivadas parciales de una función de dos variables , se pueden volver a derivar parcialmente, definiendocuatro derivadas parciales de segundo orden:
Derivar dos veces con respecto a x
Derivar dos veces con respecto a y
Derivar primero con respecto a x, luego con respecto a y
Derivar primero conrespecto a y, luego con respecto a x
Nota: Observar con cuidado el orden de las literales en cada tipo de notación
Ejemplos: Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la función que seindica:
a)

b)





Nota: En los dos ejemplos anteriores observar y comparar las funciones ; son iguales.
Derivadas parciales cruzadas: Las derivadas parciales de segundo ordense llaman derivadas parciales cruzadas o mixtas.
Teorema de Schwartz: Si la función y sus derivadas parciales están definidas en un conjunto abierto que contiene al punto y todas ellas son continuasen , entonces sus derivadas parciales cruzadas en son iguales:

Si la función y sus derivadas parciales son continuas en un conjunto abierto D, para todo punto , entonces sus derivadas parcialescruzadas son iguales:

Ejemplo. Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la función

Elección del orden de derivación para derivadas parciales cruzadas: En la práctica de la ingenieríanormalmente las funciones son continuas, con sus derivadas parciales cruzadas también continuas y por lo tanto iguales, con la ventaja de que sólo se requiere obtener una de ellas y, dado que elorden de derivación no es relevante para el resultado, podemos elegir el que sea más sencillo.
Ejemplo. Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la función
Sencillo:
Complicado:Derivadas parciales de orden r: No hay límite en el número de veces que se puede derivar una función, en tanto las derivadas existan. Con el mismo procedimiento seguido podemos definir derivadas parciales...