ninguno

Límites laterales de una función en un punto

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4.32 Definición. Se dice que f tiene límite en el punto a si existe un número L 2 R tal que
se verifica lo siguiente:

0 < jx aj < ı
C
C
8" 2 R 9 ı 2 R W
÷jf .x/ Lj < "
(4.16)
x 2I
Dicho número se llama límite de f en a y escribimos lKm f .x/ D L :
ı
x!a

Observa que la existencia del límite es independiente de que f esté o nodefinida en a
y, en caso de estarlo, del valor que f pueda tener en a. También debe advertirse que en la
definición de la igualdad lKm f .x/ D L , sólo intervienen desigualdades.
ı
x!a

Es fácil probar que la condición (4.16) no puede ser satisfecha por dos números distintos,
es decir, el límite de una función en un punto, si existe, es único. Una consecuencia inmediata
de la definición dada delímite y de la definición de continuidad (4.1), es el siguiente resultado.
4.33 Proposición. Sea f W I ! R una función definida en un intervalo y sea a 2 I . Equivalen
las afirmaciones siguientes:
i) f es continua en a.
ii) lKm f .x/ D f .a/.
ı
x!a

4.5.1. Límites laterales de una función en un punto
En la recta real es posible distinguir si nos acercamos “por la derecha” o “por la izquierda”a
un punto. Ello conduce de forma natural a la consideración de los límites laterales que pasamos
a definir.
4.34 Definición.
 Supongamos que el conjunto fx 2 I W a < xg no es vacío. En tal caso,
se dice que f tiene límite por la derecha en a, si existe un número ˛ 2 R tal que se
verifica lo siguiente:

a M para todo x 2 I , x ¤ a .
Entonces lKm .f C g/.x/ D C∞.
ı
x!a

ii) Supongamosque hay un número M > 0 tal que g.x/ > M para todo x 2 I , x ¤ a .
Entonces lKm .fg/.x/ D C∞.
ı
x!a

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral

Álgebra de límites

138

Observa que la condición en i) se cumple si f tiene límite en a o diverge positivamente en
a; y la condición ii) se cumple si f tiene límite positivo en ao diverge positivamente en a.
En el siguiente resultado se establece que el producto de una función con límite 0 por una
función acotada tiene límite cero.
4.42 Teorema. Supongamos que lKm f .x/ D 0, y que hay un número M > 0 tal que
ı
x!a

jg.x/j 6 M para todo x 2 I , x ¤ a . Entonces lKm .fg/.x/ D 0.
ı
x!a

Con frecuencia este resultado se aplica cuando la función g es alguna de lasfunciones
seno, coseno, arcoseno, arcocoseno o arcotangente. Todas ellas son, como ya sabes, funciones
acotadas.
El siguiente resultado establece que la continuidad permuta con el paso al límite. Es un
resultado que se usará bastante cuando estudiemos técnicas de cálculo de límites.
4.43 Teorema. Supongamos que f tiene límite en el punto a y sea L D lKm f .x/. Sea g una
ı
x!a

funcióncontinua en L. Entonces se verifica que la función compuesta g ıf tiene límite en a
igual a g.L/, esto es, lKm .g ıf /.x/ D g.L/. Simbólicamente:
ı
x!a

lKm .g ıf /.x/ D g. lKm f .x//
ı
ı

x!a

(4.25)

x!a

Demostración. Apoyándonos en la proposición (4.33), podemos demostrar este resultado reduciéndolo a un resultado ya conocido de funciones continuas. Para ello basta con definir
f .a/D L con lo que, usando (4.33), resulta que f (seguimos llamando f a la función así
modificada) es continua en a. Ahora aplicamos el teorema (4.6) de continuidad de una composición de funciones para obtener que g ıf es continua en a y de nuevo volvemos a usar (4.33),
para obtener que


lKm .g ıf /.x/ D .g ıf /.a/ D g.f .a// D g.L/ D g lKm f .x/
ı
ı
x!a

x!a

4.44 Definición. Se dice quedos funciones f y g son asintóticamente equivalentes en un
f .x/
punto a 2 R [ fC1; 1g, y escribimos f .x/  g.x/.x ! a/, cuando lKm
ı
D 1.
x!a g.x/
El siguiente resultado, consecuencia inmediata de la definición dada y de las propiedades
de los límites funcionales ya vistas, es muy útil para calcular límites funcionales. Nos dice que
para calcular el límite de un producto o de un...