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Capítulo 4.
Operaciones básicas con expresiones algebraicas

4.1 Expresiones algebraicas1
Algunas veces aparecerán explícitamente los símbolos que comúnmente usamos para representar números, tales como etc.No debe perderse de vista que, ya sea mediante los símbolos indicados o las letras, estaremos considerando números reales y, por tal motivo, las reglas de operación dadas en el capítuloanterior son aplicables.
La adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces son conocidas como operaciones algebraicas.
Definición 4.1. Cualquier combinación que resulte de operar con números, ya sea representados por los símbolos correspondientes o por letras, es conocida como expresión algebraica. Como por ejemplo,
1)
2)
3)
En las expresiones algebraicas podránaparecer números explícitos, estos reciben el nombre de constantes en la expresión. Las letras pueden ser constantes o variables. Cuando decimos que una letra es una constante es porque su valor, aunque sea arbitrario, no cambiará a través de la discusión de la situación o el problema; en contraste, una variable es una letra que puede ser sustituida por cualquier número que pertenezca a ciertoconjunto de números. El conjunto de números cuyos valores pueden tomar una variable se llama dominio de la variable. Usualmente si en una situación dada cierta letra corresponde a una constante, esto debe indicarse explícitamente si no está claro a partir del contexto. Por otra parte, es muy importante tener claro el dominio de las variables de la expresión.

Ejemplo
1) Consideremos la expresión .Como sabemos, lo anterior se interpreta como el cociente de 2 entre , y, puesto que la división por 0 no tiene sentido, en la expresión anterior no puede ser igual . Podemos definir como dominio de esta variable el conjunto IR o cualquier otro que sea subconjunto de este.
2) Para la expresión (1) del ejemplo 1, podemos tomar como dominio de la variable al conjunto IR o a cualquier subconjuntode IR.
En el ejemplo anterior hemos establecido, en cada uno de los casos, un cierto dominio y hemos dicho que podemos tomar como dominio un subconjunto de él. Ese primer dominio que hemos indicado en ambos casos es lo que se conoce como dominio máximo de la variable. En general, el dominio máximo de una variable en una expresión algebraica es aquel dominio que se caracteriza por que contienecualquier otro conjunto que pueda tomarse como dominio de la variable. En adelante, cuando digamos dominio nos estaremos refiriendo a este dominio máximo a no ser que se indique otra cosa.

Ejemplo
1) En la expresión (2) del ejemplo 1, el dominio de la variable es ,puesto que para que tenga sentido en IR, debemos tener que , es decir . El dominio de las variables y es IR.
2) En (3) del ejemplo1, el dominio de es IR , ¿cuál es el dominio de ?
En lo que sigue, a través de ejemplos ilustrativos, vamos a utilizar las propiedades de las operaciones en IR y las propiedades de las potencias y los radicales para operar con expresiones algebraicas.

4.2 Simplificación de expresiones algebraicas
En primer lugar, consideraremos expresiones en las que aparecerán involucrados productos,potencias, cocientes y radicales de constantes y variables. Para simplificar este tipo de expresiones se utilizarán directamente las leyes y propiedades estudiadas en el capítulo anterior, de modo que procederemos con ejemplos ilustrativos.

Ejemplo
Simplificar la expresión , donde son números reales diferentes de 0.
Utilizando las propiedades de la multiplicación y las leyes de las potenciastenemos

Para . Usted puede justificar todos los pasos.


Ejemplo
Simplificar la expresión ,, donde , es un número real diferentes de 0 y es un número racional.
De acuerdo con las propiedades de la multiplicación y las leyes de las potencias tenemos
, para .
Ejemplo
Simplificar la expresión , siendo y números reales positivos.
De acuerdo con las propiedades de las operaciones...