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Revista del Profesor de Matemática

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L A E C U A C I Ó N C Ú B I C A , S U H I S T O RI A Y S O L U C I Ó N
Juan Pablo Prieto

Ins tituto de Matemática y Fís ica Univers idad de Talca

Siglo XVI. El despertar del ´lgebra
a
La soluci´n de ecuaciones ha sido hist´ricamente una de las fuentes
o
o
m´s fruct´
a
ıferas de creaci´n matem´tica. Las ecuaciones cuadr´ticas
o
aa
aparecen ya en la antig¨edad (Babilonia, 2000 AC) y la soluci´n de
u
o
la ecuaci´n general, aun cuando aparece en distintas formas en el
o
tratado Elementos de Euclides mediante argumentos geom´tricos, es
e
obtenida algebraicamente por el matem´tico ´rabe al-Khowarizmi (c.
a
a
780- 850).
En Europa la matem´tica entra en un profundo estancamiento
a
durante la Edad Media, la unicaactividad se desarrollaba en el le´
jano oriente y fundamentalmente en el mundo ´rabe, donde se hizo
a
un importante trabajo de recopilaci´n y traducci´n de los tratados
o
o
griegos cl´sicos.
a
El Renacimiento es una era de gran expansi´n art´
o
ıstica e intelectual, pero la matem´tica tuvo poco desarrollo. Lo unico notable de
a
´
este per´
ıodo (fines del renacimiento) es el desarrollodel ´lgebra en
a
la Escuela Italiana, espec´
ıficamente los trabajos de Fibonacci y el
trabajo sobre la ecuaci´n c´bica que aqu´ tratamos.
ou
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La ecuación cúbica, su historia y solución

Los actores
• Nicolo Tartaglia (1500-1557)
Naci´ en Brescia, en el norte de Italia. Debido a su pobreza,
o
no pudo acceder a estudios formales, pero en base a esfuerzo
y estudiopersonal y gracias a su capacidad logr´ un gran doo
minio de la matem´tica, lo que le permiti´ acceder a puestos de
a
o
profesor en Verona y Venecia. En 1530 un amigo le envi´ dos
o
problemas:
– Encontrar un n´mero cuyo cubo sumado a tres veces su
u
cuadrado es 5, es decir resolver la ecuaci´n: x3 + 3x2 = 5
o
– Encontrar tres n´meros, el segundo de ellos supera al primero
u
en 2, eltercero supera al segundo tambi´n en 2, y cuyo proe
ducto es 100, es decir, resolver la ecuaci´n: x(x + 2)(x +
o
4) = 100 .
En 1535 Tartaglia pudo finalmente resolver estos problemas, y
anunci´ que pod´ resolver cualquier ecuaci´n del tipo: x3 +
o
ıa
o
2 = q . Otro matem´tico, Fiore, no creyendo esta afirmaci´n,
px
a
o
lo desafi´ a una competencia p´blica de resoluci´n de probo
u
o
lemas(algo muy com´n en esa ´poca y que permit´ que los
u
e
ıa
matem´ticos exitosos escalaran posiciones en las universidades).
a
Debido a este desaf´ Tartaglia trabaj´ arduamente para enıo,
o
contrar la soluci´n general de la ecuaci´n c´bica. Un poco
o
ou
antes de la competencia, Tartaglia desarroll´ un esquema para
o
resolver todas las ecuaciones c´bicas que no tengan el t´rmino
u
ecuadr´tico. Despu´s de dos horas de competencia, Tartaglia
a
e
hab´ reducido los 30 problemas que se le propusieron a caıa
sos particulares de la ecuaci´n x3 + px = q , para las cuales ´l
o
e
conoc´ la soluci´n. Sin embargo, de los problemas que ´l proıa
o
e
puso a su oponente, ´ste no hab´ logrado solucionar ninguno.
e
ıa

Revista del Profesor de Matemática

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• GirolamoCardano (1501-1576)
La vida de Cardano fue deplorable, aun para los est´ndares de
a
la ´poca. Ejecutaron a uno de sus hijos por envenenar a su
e
esposa, ´l personalmente tuvo que cortarle la oreja a otro de
e
sus hijos por la misma raz´n; fue encarcelado por herej´ por
o
ıa
haber publicado el hor´scopo de Cristo; y en general divid´ su
o
ıa
vida entre el estudio intensivo y un granlibertinaje. Pero aun
as´ en su rango de intereses, Cardano fue un verdadero “homı,
bre del renacimiento”: m´dico, fil´sofo, matem´tico, astr´logo,
e
o
a
o
aficionado al ocultismo y escritor prol´
ıfico. Despu´s de una jue
ventud dedicada a las apuestas, Cardano comenz´ sus estudios
o
en la Universidad de Pavia y los complet´ en la Universidad de
o
Padua en 1525, con un doctorado en...