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Función aditiva
Tradicionalmente en matemática, una función aditiva es una función que preserva la operación suma:
f(x + y) = f(x) + f(y)
para cualesquiera dos elementos x e y en el dominio. Así por ejemplo, cualquier transformación lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales, esta función corresponde a la ecuación funcional de Cauchy.
En teoría de números, una funciónaditiva es un una función aritmética f(n) que va desde los enteros positivos n tales que cada vez que a y b son coprimos, la función del producto es la suma de las funciones.
f(ab) = f(a) + f(b).
Note que cualquier homomorfismo f entre grupos abelianos es "aditivo" según la primera definición. El resto de este artículo se refiere a las funciones aditivas usando esta segunda definición de la teoría denúmeros.
Función completamente aditiva[editar]
Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva si f(ab) = f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos a y b, inclusive aquellos que no son coprimos.
Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.
Funciones multiplicativas[editar]
Artículo principal: Función multiplicativa
A partir decualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativa relacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son coprimos se cumple lo siguiente:
g(ab) = g(a) × g(b).
Un ejemplo es la función g(n) = 2f(n) − f(1).

La Propiedad Conmutativa de la Suma y de la Multiplicación
 
Te encontrarás con rutinas diarias cuyo orden puede ser intercambiado sin modificar el resultado. Porejemplo, piensa en servir una taza de café en la mañana. Tendrás la misma taza de café sin importar en qué orden añades los ingredientes:
 
         Servir 12 onzas de café en una taza, luego añadir leche.
         Añadir leche en una taza, luego añadir 12 onzas de café.
 
El orden en el que añades los ingredientes no importa. De la misma manera, no importa si te pones primero el zapatoizquierdo o si te pones primero el zapato derecho para ir a trabajar. Siempre y cuando traigas puestos los dos zapatos al salir de tu casa, ¡todo saldrá bien!
 
En las matemáticas, decimos que estas situaciones son conmutativas — el resultado será el mismo (el café se prepara a tu gusto; sales de tu casa con ambos zapatos puestos) sin importar el orden en el que se realizan las tareas.
 Igualmente, la propiedad conmutativa de la suma dice que cuando dos números son sumados, el orden puede ser cambiado sin afectar el resultado. Por ejemplo, 30 + 25 da el mismo resultado que 25 + 30.
 
30 + 25 = 55
25 + 30 = 55
 
La multiplicación se comporta de la misma forma. La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que cuando dos números se multiplican, su orden puede cambiar sin afectarel resultado. Por ejemplo, 7  12 tiene el mismo producto que 12  7.
 
7  12 = 84
12  7 = 84
 
Estas propiedades se aplican a todos los número reales. Echemos un vistazo a algunos ejemplos de suma.
 
 
Ecuación Original
Ecuación reescrita
1.2 + 3.8 = 5
3.8 + 1.2 = 5


14 + (−10) = 4
(−10) + 14 = 4


(−5.2) + (−3.6) = −8.8
(−3.6) + (−5.2) = −8.8
 
 
Propiedad Conmutativade la Suma
 
Para cualesquiera números reales a y b, a + b = b + a.
 
La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 − 7 no tiene la misma diferencia que 7 − 4. Aquí, el signo − significa resta.
 
Sin embargo, recuerda que 4 − 7 puede reescribirse como 4 + (−7), porque restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Aplicando la propiedad conmutativa de la suma, puedes decir que 4 + (−7) es lomismo que (−7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy distinta a 7 – 4.
 
 
Ahora veamos algunos ejemplos de multiplicación.
 
Ecuación Original
Ecuación Reescrita
4.5  2 = 9
2  4.5 = 9
(−5)  3 = -15
3  (−5) = -15




 
 
Propiedad Conmutativa de la Multiplicación
 
Para cualesquiera números reales a y b, a  b = b  a.
 
 
El orden no importa siempre y cuando las dos...