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¿Qué es la anti derivada?

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

Teorema
Si dos funciones h y g son anti derivadas de unamisma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
 


Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier anti derivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.


Relación entre derivada y anti derivada
La anti derivada es la "operación contraria" ala derivada. Es decir, si tenemos una función f(x), buscamos a la función F(x) tal que F ' (x) = f(x) 
La integral, si es indefinida se calcula buscando la anti derivada. Si está definida, se busca la función anti derivada de f(x), y se hace la evaluación F(b) -F(a) eliminado la constante de integración, siendo "a" el extremo inferior del intervalo en que se integra, y "b" el extremo superior, yrepresenta el área entre la curva, las rectas x = a , x = b y el eje "x". Si la integral es impropia en un extremo (por ejemplo uno de los extremos es el infinito), se calcula de manera análoga a la integral definida, pero utilizando el concepto de límite. 

INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igualancho D x = . Sean x0 = a y xn= b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número =.
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambieel valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.Observación: La suma  que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.
Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervaloa = x0 £ x1 £ x2 £ x3 £......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma, xi-1 £ ti £ xi sellama suma de Riemann de f asociada a la partición .
Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de unasuma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).


INTEGRAL INDEFINIDA
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición...