Ninguno

Solucionario Cálculo diferencial e integral

Piskunov y yo resolviendo los problemas 07/10/11

Índice general

1. Número. Varible. Función 2. Límite y continuidad de las funciones.

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Introducción
Problemas del Libro Calculo diferencial e integral de Piskunov[4], resueltos por mi. Para aprender a manejar Latex, Lyx y Scilab; y de paso repasar mis conceptos de cálculo, y/oaprender algo más al respecto. Intentare resolver en la medida de mis posibilidades los problemas con Scilab. No me hago responsable de los resultados, he comprobado que concuerdan, aunque en algunas ocasiones puede ser que no (si me doy cuenta lo indicaría en el ejercicio correspondiente). He congurado el documento, para que los apartados (ejercicios) no aparezcan en el indice general, pues seobtenía un indice muy largo, y daba problemas al crear un PDF (formatos no permitidos en hiperindices?). He congurado el tamaño de hoja para A5, con la idea de que se pueda ver completo (sin necesidad de zoom) en un ebook, de momento como no tengo ebook, no puedo comprobar como se ve realmente. No obstante es bastante sencillo cambiar la conguración al tamaño de hoja que se desee. Con este tamaño dehoja también se podría imprimir directamente dos hojas en un A4.

Capítulo 1
Número. Varible. Función

He resuelto manualmente los ejercicios propuestos, dibujando las grácas por puntos (dando valor a x y obteniendo la y correspondiente), ya que el libro de Piskunov no trata en este capítulo el trazado de las grácas (máximos, mínimos, concava, convexa, etc..). Después he procedido(en los ejercios con grácas) a obtenerlas con Scilab (he intentado usar la mayor cantidad de opciones que tiene Scilab para el trazado de funciones, aunque puede ser que existan más que no conozca -eso seguro-).

A Deseche utilizar el package de L T X pst-func, pues mi objetivo es manejar el programa E Scilab. No obstante, si se tercia (he hecho alguna prueba desde MiT X y me ha funcionado, Edesde L X aún no lo he probado, supongo que será mediante una Red Box), probare a Y utilizarlo en alguna ocasión.

1.1. Calcular f (x) = x2 + 6x − 4 para x = 1 y y = 3
f (1) = 12 + 6 · 1 − 4 = 1 + 6 − 4 = 3 f (3) = 32 + 6 · 3 − 4 = 9 + 18 − 4 = 23

1.2. Calcular f (x) = x2 + 1 para los valores dados
a) b) c) d) e) f) g)

f (4) = 42 + 1 = 16 + 1 = 17 √ √ 2 f ( 2) = 2 +1=2+1=3 f (a + 1) = (a+ 1) + 1 = a2 + 2a + 1 + 1 = a2 + 2a + 2 f (a) + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 2 f (a2 ) = a2
2 2 2

+ 1 = a4 + 1
2

[f (a)] = a2 + 1
2

= a4 + 2a2 + 1

f (2a) = (2a) + 1 = 4a2 + 1

1.3. Calcular ϕ

1 x 1 x

y

1 ϕ(x)

x−1 siendo ϕ(x)= 3x+5
1−x x 3+5x x

ϕ

=

1 x −1 1 3x + 5

=

=

1−x 3 + 5x

1 = ϕ(x)

1
x−1 3x+5

=

3x + 5 x−1

1.4. Calcularψ(x) = x2 + 4 para 2x y para 0
ψ (2x) = (2x) + 4 =
2

√

4x2 + 4 = 2 x2 + 1 √

ψ (0) =

02 + 4 =

4=2

2f 1.5. Siendo f (x) = tg(θ) vericar que f (2θ) = 1−[f(θ) (θ)]

2

f (2θ) = tg(2θ) =

sen 2θ sen θ cos θ + cos θ sen θ 2 sen θ cos θ cos2 θ = = · = cos 2θ cos θ cos θ − sen θ sen θ cos2 θ − sen2 θ cos2 θ
2 sen θ cos θ cos2 θ cos2 θ−sen2 θ cos2 θ θ 2 sen θ cos

=

=

1−sen2 θ cos2 θ

=

2 tg θ 1 − tg2 θ

c.q.d

1−x 1.6. Siendo ϕ(x) = log 1+x comprobar que ϕ(a) + ϕ(b) =

ϕ

a+b 1+ab

ϕ(a) = log

1−a 1+a

ϕ(b) = log

1−b 1+b

ϕ(a) + ϕ(b) = log

1−a 1−b (1 − a)(a − b) + log = log 1+a 1+b (1 + a)(1 + b)

ϕ

a+b 1 + ab

= log

1− 1+

a+b 1+ab a+b 1+ab

= log

1 + ab − a − b (1 − a)(1 − b) = log 1 + ab + a + b (1 + a)(1 + b)c.q.d.

1.7. Siendo f (x) = log x y ϕ(x) = x3 calcular:
a) c)
f [ϕ(2)] = f 23 = f (8) = log 23 = 3 log 2 a3 = log a3 = 3 log a
3

b) f [ϕ(a)] = f

ϕ [f (a)] = ϕ [log a] = (log a)

1.8. Dominio natural denición función y = 2x2 + 1
No existen valores que produzcan divisiones por cero; por tanto todos los reales son validos.

x∈R

−∞ 7 ⇒No raiz real ⇒ −3 x 7 √ √ c) x + a − x − b...