Ninguno

Sistema de Ecuaciones Lineales

1.- Introducción Histórica

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas(400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

2.- Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)

Introducción.

  La ecuación  2x - 3 = 0  se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tieneuna solución.

La ecuación  -3x + 2y = 7  se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

La ecuación  x -  2y + 5z  = 1  se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones quese obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo:

a 1 x1 + a2 x2+ a3 x3 + ... + an xn = b

a1, a1, ..., an son los coeficientes.

x1, x2, ..., xn son las incógnitas.

b es el término independiente.

- Muchos problemas de la vida real, se modelan mediante sistemas de ecuaciones linealesy la solución de estos problemas nos obligan a la resolución de estos sistemas. También resultan muy útiles en geometría, ya que las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio.

- A continuación brindaremos definiciones, que nos permitirán reconocer lasecuaciones lineales para luego realizar los dos pasos más importantes que tiene este tema:



Primer paso: Analizar el Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Segundo paso: Resolver el Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir deforma tradicional así:

[pic][pic]

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y  "n" incógnitas, donde:

a ij : Son números reales, llamados coeficientes del sistema ( con i= 1,2,3,…m y j= 1,2,3,…n).

  b i :  Son números reales, llamados términos independientes del sistema ( con i=1,2,3…m).

xj : Las incógnitas, son las variables del sistema (con j = 1,2,3,…n).

Forma matricialdel Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si expresamos mismo sistema de ecuaciones lineales, anterior en forma matricial, tiene la siguiente forma: [pic]. [pic]

Sintetizando: Amxn . Xnx1 = Bmx1

Donde:
Amxn:  Llamamos matriz del sistema, de dimensión  m×n  formada por los coeficientes del sistema.
Xnx1 :Llamamos matriz incógnita a la matriz columna formada por las incógnitas del sistema.
Bmx1 : Llamamos matriz de términos independientes y a la matriz columna formada por los términos independientes.

A’ : Llamamos matriz ampliada de dimensión  m × (n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema o matriz de los coeficientes, la columna de los términosindependientes, es decir:

[pic]

Si al menos uno de los términos independientes bi es diferente de cero, el sistema se denomina no-homogeneo. En el caso en que los términos independientes sean todos iguales a cero:

[pic]

Conclusiones:

B [pic]N (es decir por lo menos un bi[pic]0) el sistema es no-homogeneo

B = N (es decir todos los bi = 0): el sistema es...