ninguno

UNIDAD 4 : Vectores . Recta y plano. Posiciones relativas


Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano  de ecuaciones:
2x – 3y = -1
r: : mx – y + z = 5
x + y – z = 2

Busquemos la recta r en parametricas y su ur

2x = - 1 +3y  x = - ½ + 3/2 y
r :- ½ + 3/2 y + y – z = 2  z = - 1/ 2 - 2 + 3/2 y + y  z = - 5/2 + 5/2 y

x = - ½ + 3/2 λ
y = λ ur = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5) y nπ = (m, -1, 1)
z = - 5/2 + 5/2 λ
Para que r ǀǀ π  ur ┴ nπ  ur · nπ = 0 ; 3m – 2 + 5 = 0  3m + 3 = 0

m = -1

Ademas podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(-½ , 0, -5/2) ε r pero

- (- ½ ) – 0 – 5/2 – 5 ≠ 0 luego A no pertenece al plano  r ǀǀ π

Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5).

A (1,1,1) ur ( 0, -5, 3)
α (x, y,z)
‌‌‌ uπ = K . ur = ( 0, -5, 3)

vπ = AP = (0, -1 , -6)

AQ = (x - 1, y – 1, z - 1)

AQ AQ
uπ, vπ y AQ son l.d. → rg uπ = 2 → ‌ uπ = 0
vπ vπ

x – 1 y – 1 z – 10 - 5 3 = 0 ; 33 ( x -1 ) = 0 ; x - 1 = 0 ; π ≡ x = 1
0 - 1 - 6

Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es paralelo a la recta
x - 2y = 0
r: , y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0z = 0

El punto P( 1, 0, -1) al plano pedido.

Como r es paralelo al plano ur es paralelo al u , es decir, u= k · ur

x - 2y = 0 ; x = 2y x = 2
Como r y =  ur = ( 2, 1, 0)
z = 0 z = 0 z = 0Como el plano dado es perpendicular al pedido el n vector característico de y el

v deberán de ser paralelos.  v = k · n ;

Como 2x - y + z + 1 = 0 n = ( 2, -1, 1) v = ( 2, -1, 1)

Si Q( x, y, z) es un punto genérico de , PQ, u , v son linealmente dependientes.

PQ x - 1 y z + 1
u = 0 21 0 = 0 ; x - 1 - 2y – 4·(z + 1) = 0 x - 2y - 4z - 5 = 0
v 2 -1 1


Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y
D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro.

Si A, B, C y D no son coplanarios son li.

;
= 2 + 4 – 80 l.i.x + y + z = 1
Considera la recta r ≡ Determinar a para que el
– x – 2y + z = 0
plano π, de ecuación 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta está contenida en el plano.
nπ ur

nπ ┴ ur si r║ π → nπ ∙ ur = 0

π ≡ 2x + y + az – b = 0 → nπ = (2, 1, a)

x + y + z = 1 x + y = 1 – z...