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Problemas Ejemplos Resueltos
(incluidos examenes resueltos del primer parcial del 2007)
Jos´ Mar´a Ba˜ on
e
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n´
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METODOS NUMERIC0S,
Escuela de Ingenier´a de Sistemas y Computaci´ n
ı
o
2
banon@eisc.univalle.edu.co

1. Problemas Resueltos: Metodo de Euler
Sea el sistema de ecuaciones diferenciales,
y′ = f (x, y, z),
z′ = g(x, y, z)

El m´ todo de Euler consiste en
e
xn+1= xn + h
yn+1 = yn + h f (xn , yn , zn )
zn+1 = zn + h g(xn , yn , zn )

Ejemplo

Calcular una iteraci´ n con el m´ todo de Euler para el sistema,
o
e
y′ = (1 + x)z + y,
z′ = (1 + x)y + z,

x0 = 0, y0 = 1
z0 = 1

Soluci´ n La iteraci´ n general se escribe,
o
o
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + h ((1 + xn ) zn + yn )
zn+1 = zn + h ((1 + xn ) yn + zn )

1

para n = 0 se tiene,x0 =0, y0 = z0 = 1
x1 = 0 + h = h
y1 = y0 + h ((1 + 0)1 + 1) = 1 + 2h
z1 = z0 + h ((1 + 0)1 + 1) = 1 + 2h

Ejemplo

Calcular la segunda iteraci´ n del problema anterior.
o

Soluci´ n
o
x2 = x1 + h
y2 = y1 + h ((1 + x1 ) z1 + y1 )
z2 = z1 + h ((1 + x1 ) y1 + z1 )
para n = 1 se tiene,x1 = h, y1 = z1 = 1 + 2h
x2 = 2h
y2 = (1 + 2h)(1 + 2h + h2 )
z2 = (1 + 2h)(1 + 2h + h2 )

2. ProblemasResueltos: Metodo de Taylor para Sistemas
Sea el sistema de ecuaciones diferenciales,
y′ = f (x, y, z),
z′ = g(x, y, z)
La iteraci´ n general del m´ todo de Taylor consiste en
o
e
xn+1 = xn + h
h3
h2
y′′(xn , yn , zn ) +
y′′′(xn , yn , zn )
2
6
h2
h3
= zn + h z′(xn , yn , zn ) +
z′′(xn , yn , zn ) +
z′′′(xn , yn , zn )
2
6

yn+1 = yn + h y′(xn , yn , zn ) +
zn+1
entonces,xn+1 = xn + h

h2
h3
f ′(xn , yn , zn ) +
f ′′(xn , yn , zn )
2
6
h3
h2
g′(xn , yn , zn ) +
g′′(xn , yn , zn )
= zn + h g(xn , yn , zn ) +
2
6

yn+1 = yn + h f (xn , yn , zn ) +
zn+1

2

Ejemplo
sistema,

Aplicar una iteraci´ n con el m´ todo de Taylor hasta la segunda derivada para el
o
e
y′ = (1 + x)z + y,
z′ = (1 + x)y + z

Soluci´ n Teniendo encuenta que,
o
f(x0 , y0, z0 )
g(x0 , y0, z0 )
f ′(x, y, z)
g′(x, y, z)
f ′(x0 , y0, z0 )
g′(x0 , y0, z0 )

=
=
=
=
=
=

(1 + 0)1 + 1 = 2
(1 + 0)1 + 1 = 2
z + (1 + x)z′ + y′
z + (1 + x)y′ + z′
5
5

Por tanto la primera iteraci´ n se escribe,
o
5h2
2
5h2
= 1 + 2h +
2

y1 = 1 + 2h +
z1

Ejemplo(examen del primer parcial del 2007) Aplicar una iteraci´ n con el m´ todo de
o
e
Taylorhasta la tercera derivada para la ecuaci´ n,
o
y′′ − xy′ = 0,

x0 = y0 = z0 = 1

Soluci´ n Como es de segundo grado hay que transformarla en un sistema. Introduciendo
o
la funci´ n variable z = y′, la ecuaci´ n inicial se pone,
o
o
y′ = z,
z′ = x z

entonces
f (x, y, z) = z,
g(x, y, z) = x z

3

Teniendo encuenta que,
f (x0 , y0, z0 )
g(x0 , y0, z0 )
f ′(x, y, z)
g′(x, y,z)
f ′(x0 , y0, z0 )
g′(x0 , y0, z0 )
f ′′(x, y, z)
g′′(x, y, z)
f ′′(x0 , y0, z0 )
g′′(x0 , y0, z0 )

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

1
1
z′ = x z
z + x z′ = z + x2 z
1
2
z + x z′ = z + x2 z
z′ + 2xz + x2 z′
2
4

x1 = x0 + h
h3
h2
f ′(x0 , y0, z0 ) +
f ′′(x0 , y0 , z0 )
2
6
h2
h3
= z0 + h g(x0 , y0, z0 ) +
g′(x0 , y0, z0 ) +
g′′(x0 , y0 , z0 )
2
6

y1 = y0 + h f(x0 , y0 , z0 ) +
z1

x1 = x0 + h = 1 + h
h2 h3
y1 = 1 + h +
+
2
3
h3
z1 = 1 + h + h2 + 4
6

Ejemplo(examen del primer parcial del 2007) Aplicar una iteraci´ n con el m´ todo de
o
e
Taylor hasta la tercera derivada para la ecuaci´ n,
o
y′′ − xy′ = 0,

x0 = y0 = z0 = 1

Soluci´ n Como es de segundo grado hay que transformarla en un sistema. Introduciendo
o
la funci´ nvariable z = y′, la ecuaci´ n inicial se pone,
o
o
y′ = z,
z′ = x z

4

entonces
f (x, y, z) = z,
g(x, y, z) = x z

Teniendo encuenta que,
f (x0 , y0, z0 )
g(x0 , y0, z0 )
f ′(x, y, z)
g′(x, y, z)
f ′(x0 , y0, z0 )
g′(x0 , y0, z0 )
f ′′(x, y, z)
g′′(x, y, z)
f ′′(x0 , y0, z0 )
g′′(x0 , y0, z0 )

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

1
1
z′ = x z
z + x z′ = z + x2 z
1
2
z + x...