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OPERADORES VECTORIALES Y TEOREMAS DEL ANÁLISIS VECTORIAL

1. ROTACIONAL

Sea F  C 1 ( S ) un campo vectorial definido en S , siendo S  R 3 abierto.




F ( x, y, z )  P( x, y , z)i  Q( x, y, z ) j  R( x, y , z ) k . Se define el rotacional del campo

vectorial F como:
  R Q    P R    Q P  
rot F  



i  
 j
 k , que en formasimbólica se expresa a
 x Y 
 y z   z x 



i
j
k

través de un determinante


x
P


y
Q


, que se desarrolla por la primera fila y donde
z
R

se sustituye elproducto del operador derivada parcial por un campo escalar en la

Q
derivada parcial del campo escalar respecto de la variable indicada. Así
Q 
.
x
x
2. DIVERGENCIA

Sea F  C 1 ( S )un campo vectorial definido en S , siendo S  R 3 abierto.




F ( x, y, z )  P( x, y , z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y , z ) k . Se define la divergencia del campo

vectorial F como: P Q R
divF 


.
x y z

3. GRADIENTE
Sea   C 1 ( S ) un campo escalar definido en S , siendo S  R 3 abierto. Se define el
gradiente del campo escalar  como:
     grad 
i
j
k.
x
y
z

      
j  k el operador NABLA, se pueden expresar los
Denotando por   i 
x y
z
operadores anteriores del siguiente modo:
  
rot F   F ,

  
divF    F ,


grad   .

1

 
Sean F , G campos vectoriales diferenciables con continuidad en un abierto S  R3 .
Sean  , campo escalares diferenciables concontinuidad en un abierto S  R3 . Y
a, b números reales.
  
Si rot F  0, F se denomina IRROTACIONAL.


Si divF  0, F se denomina SOLENOIDAL.

 2  2  2
El laplaciano de uncampo escalar  ,    2  2  2 , y el laplaciano de un
x
y
z








2
2
2
campo vectorial F  Pi  Q j  Rk ,  F   P i   Q j   2 R k .
2

Considerando el...