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El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximacionespolinómicas.

Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:


Donde denotael resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.

y es un número entre a y x.

En general si la (n+1) derivada de f estáacotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si

para todo x en (a,b)

entonces

Cuando n crece indefinidamente entoncesPara algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducidoalrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.

En el caso a=0 tenemos y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.

Veamos dos ejercicios:

Encontrar lafórmula de Mac Laurin para la función




…

En general observamos que las derivadas de orden par, evaluados en cero se anulan y las impares valen alternadamente 1 y -1.Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

Observamos que , es decir se nos pide evaluar a la función exponencial en 0.5, elcual es un valor cercano a a = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.

Así pues encontremos la fórmula de Taylor para f(x) = en a = 0 y posteriormenteevaluaremos en x = 0,5

Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales a 1 evaluadas en 0 tenemos

Evaluada la función en 0,5 tenemos


Como entonces