No parametrica

PROBLEMAS DE TEORIA CUALITATIVA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Hoja 2: Flujos en 2D: estabilidad lineal y ciclos l´ ımite Profesor: David G´mez-Ullate o Fecha l´ ımite de entrega: 5 de abril.

e 1.Determina qu´ tipo de punto fijo tiene el sistema x = −y − x3 , ˙ y = x, ˙

en el origen. ¿Coincide con la linealizaci´n? o 2. Este ejercicio es una extensi´n del modelo de ovejas y conejos discutidoo en clase, en el que vimos una ilustraci´n del principio de competencia o exclusiva (una especie lleva a la otra a la extinci´n). Considera el modelo o de dos poblaciones N1,2 (t) en competici´nmutua, cada una con una cierta o capacidad K1,2 , descrito por las siguientes ecuaciones ˙ N1 = r1 N1 (1 − N1 /K1 ) − b1 N1 N2 , ˙ N2 = r2 N2 (1 − N2 /K2 ) − b2 N1 N2 , - Escribe las ecuaciones enforma adimensional. ¿Cuantos par´metros a adimensionales quedan? - Demuestra que existen cuatro tipos diferentes de comportamiento cualitativo para diferentes valores de los par´metros. a a - ¿Existenvalores de los par´metros para los cuales las dos especies pueden coexistir de manera estable? (pista: las capacidades Ki reflejan competencia intra-especie mientras que los coeficientes bi representancompetici´n entre especies). o 3. Demuestra que los sistemas siguientes no tienen ´rbitas peri´dicas. o o a) x = y + x2 y, ˙ b) x = y − x3 , ˙ y = −x + 2xy ˙ y = −x − y 3 ˙

Pista: intenta encontraruna funci´n potencial o una funci´n de Lyapunov. o o 4. Utiliza el Teorema de Poincar´-Bendixson para probar que el siguiente e sistema x = x − y − x(x2 + 5y 2 ), ˙ y = x + y − y(x2 + y 2 ), ˙tiene alg´n ciclo l´ u ımite. Pista: utiliza regiones que atrapen el flujo en forma de corona circular 1

5. Este ejercicio amplia lo que hemos visto sobre el oscilador de Van der Pol en clase.Considera el oscilador de Van der Pol con una fuerza constante: x + µ(x2 − 1)x + x = a, ¨ ˙ µ>0 donde a ∈ R puede ser positivo, negativo o cero. o a) Reescribe el sistema en el plano usando la misma...