No se subio ningun titulo

Cap´ ıtulo 1 Introducci´n a la l´gica o o matem´tica y a la teor´ de a ıa conjuntos
1.1. Introducci´n o

En el ´lgebra actual tiene importancia y muy especialmente en el c´lculo a a que se efect´a con procesadores electr´nicos, el an´lisis del lenguaje desde u o a un punto de vista l´gico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar o formas complicadas, pero el an´lisis de sus partes ofrecela alternativa de a desentra˜ar la esencia de la l´gica de las formas expresivas m´s complejas. n o a En estas notas, que no pretenden ser m´s que una introducci´n, no tena o dr´ sentido extenderse en la consideraci´n de los problemas de la l´gica ıa o o matem´tica sobre los cuales el lector interesado podr´ consultar obras de a a buen nivel indicadas en la bibliograf´ ıa. Aqu´ nos interesaremosen un tipo especial de proposiciones como por ejemı plo 5 es un n´mero, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para u todo real x, . . . notemos que a estas expresiones se les puede asignar un valor, seg´n sean verdaderas o falsas. Quedar´n exclu´ u a ıdas de nuestra con1

Luis Zegarra A.

Introducci´n a la l´gica matem´tica y a la teor´ de conjuntos 2 o o a ıa

sideraci´n,expresiones tales como: Abre la ventana, Estudia con dedicaci´n, o o ...

1.2.

Elementos de l´gica o

Proposici´n. Una proposici´n es una expresi´n de la cual se puede decir o o o siempre si es verdadera o es falsa (V o F). Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar que no compete a la l´gica establecer el valor de verdad de las proposiciones, es o decir, seconsiderar´n las proposiciones simples con su valor ya asignado. a

Notaci´n. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante o las letras: p, q, r, . . .

Convenci´n. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posio bles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U , se denotan por p ∈ U .

Conectivos o s´ ımbolos. Ocuparemos los siguientes s´ımbolos, llamados tambi´n conectivos l´gicos e o ∼ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ∨ : : : : : : Negaci´n o Conjunci´n o Disyunci´n o Implicaci´n o Doble implicaci´n o Disyunci´n excluyente o

Antes de definirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere los siguientes comentarios.

Luis Zegarra A.

Introducci´n a la l´gica matem´tica y a la teor´ de conjuntos 3 o o a ıa

La relaci´n que establece laconjunci´n “y”simb´licamente por “∧.entre dos o o o proposiciones en el lenguaje com´n es perfectamente clara, es decir, no da u lugar a ninguna ambiguedad. Por ejemplo, consideramos las proposiciones el 5 es un n´mero (p), el caballo u es un animal (q), al decir el 5 es un n´mero y el caballo es un animal (decimos u las dos cosas), esta relaci´n se simboliza en l´gica: p ∧ q. o o La relaci´n ∧ permitedefinir una operaci´n algebraica entre proposiciones, o o en rigor p ∈ U y q ∈ U es (p ∧ q) ∈ U. En cambio, la relaci´n establecida entre dos proposiciones por la disyunci´n o o o, ya no es tan clara. En efecto, si analizamos un poco veremos que, en el lenguaje corriente no tiene significado preciso y unico. ´ Por ejemplo, si consideramos el s´bado ir´ al cine o al estadio, para cualquiera a eresulta claro que si voy a un lugar no ir´ al otro, es decir, que una de las e acciones que realizar´ excluye la otra. e Si en cambio se dice, regalar´ los zapatos viejos o los zapatos negros, se e entiende que los zapatos que regalar´ son los viejos y tambi´n los negros e e (aunque no sean viejos). El o no es en este caso excluyente. Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir, es por elsentido general de la frase, pero desde el punto de vista l´gico s´ nos preocupamos o ı exclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos interpretaciones diferentes para la relaci´n establecida entre proposiciones por o o. En forma simb´lica, entonces, consideramos ∨ para el o excluyente y ∨ para o el o inclusivo. Dada una proposici´n p, simbolizamos mediante ∼ p la negaci´n de...