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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Relaciones y funciones
En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación.
Relación
Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores.

Definición
1

Por ejemplo, el siguiente conjunto es una relación:

{(1, 2), (2, 3), (1, 5), (7, −1), (2, −1)}En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan
dos variables.
Por ejemplo, en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a
cada persona que se encuentra en esa lista.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Nombre
Avendaño Apolinar Aarón
Arcadio Domínguez Joas L.
Bravo Cruz Julio César.
Chamlati GuillénGeordi.
Chargoy Rosas Claudia I.
González Flores Gabriel.
Flores Sobrevilla David.
Motilla Zapata Guillermo.
Sobrevilla Santos Isaac.
Sobrevilla Teniente Gabriela B.

El concepto central de todo este semestre es el concepto de función.
Función
Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda a lo más, unelemento del contradominio.

Definición
2

Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos
un número y esta máquina nos devuelve otro (único) número.
No es posible que al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible
que nosotros le demos un valor y la función no nos pueda devolver valor alguno.
En este último casodecimos que el valor que le dimos a la función no pertenece al dominio de la
función, precisamente porque no lo puede transformar.
Notación funcional
Cuando se refiere a una función f , X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al contradominio,
x ∈ X es un elemento del dominio, y f ( x ) es el valor del contradominio que le corresponde al valor x del
dominio de la función.
Utilizando laanalogía de la máquina que transforma números, f es el nombre que le damos a esa
máquina, es decir, es la función, x es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto
de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por X (x ∈ X), f ( x ) es el
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Definición
3

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valor que la máquina nos devuelvecuando le damos x y Y es el conjunto de todos los valores que
la máquina nos devuelve ( f ( x ) ∈ Y).
El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:

Función
Dominio

Contradominio

X

Y
f

x

Valores que le
damos a la función

Ejemplo 1

f (x)

Valores que nos
devuelve la función

Las siguientes expresiones son funciones.

• f ( x ) = x,
•f ( x ) = 2 x + 1,
• f ( x ) = x2 − x + 1,
x2 − x + 1
,
x−7
√
• f ( x ) = 2 x + 1,
• f (x) =

• f (x) =

1
,
x+1

• f ( x ) = log2 x2 + 1 ,
• f ( x ) = e− x ,
• f ( x ) = x · e x + ln( x ).

Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada
valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.»
Si no se cumple estacondición, entonces se trata de una relación que no es una función.
Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2

Las siguientes son relaciones que no son funciones.
• x2 + y2 = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si x
es elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo
elemento del dominiohaya a lo más un elemento del contradominio.

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y
x 2 + y2 = 4

2
y0
1

−2

x

1 x0 2

−1
−1
− y0
−2

En este caso, para un valor que le damos x0 la relación nos devuelve dos: y0 y −y0 .
• y2 = x, porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal:
y
x = y2

2
1

x
1

2

3

4

5...