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Publicado: 26 de octubre de 2014
Cap´ıtulo 7
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.1.
Introducci´
on
Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
las inc´ognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal con tres inc´
ognitas.
Como es bien sabido, las ecuacioneslineales con 2 inc´
ognitas representan una recta en el plano.
Si la ecuaci´
on lineal tiene 3 inc´
ognitas, su representaci´on gr´
afica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 7.1: Representaci´on gr´
afica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de lossistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geom´etricamente representan la misma recta o plano.
109
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.2.
110
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales dela forma:
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2
..
.
am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas.
ognitas (o n´
umeros a
Los n´
umeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´
determinar) y bj se denominant´erminos independientes.
En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
del sistema simult´aneamente.
Diremos que dos sistemasson equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
7.3.
Expresi´
on matricial de un sistema
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
x1
b1
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n x2 b2
..
..
..
.. · .. = ..
.
.
.
.
.
.
. . .
am1 am2 am3 . . . amn
xn
bmmxn
nx1
mx1
a1n
x1
x2
a2n
.. se llama matriz de coeficientes, la matriz X = ..
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
b1
b2
se llama matriz de inc´
ognitas, y la matriz B = . se llama matriz de t´erminos independientes.
..
bm
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 .. . a2n b2
(A|B) = .
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
a11
a21
La matriz A = .
..
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
am1 am2 am3 . . .
amn bm
se llama matriz ampliada del sistema y se representar´a por (A|B) o bien por A∗ .
x+y−z = 5
Ejemplo: El sistema:
x+y =7
escrito matricialmente es:
2x + 2y − z = 12
1 1 −1
x
5
1 1 0 · y = 7
2 2 −1
z
12
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
111
y la matriz ampliada es:
1 1 −1 5
(A|B) = 1 1 0 7
2 2 −1 12
7.4.
Tipos de sistemas
En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´
umeros reales R. Dependiendo del
posible n´
umero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´estos de puedenclasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen soluci´on)→ S.I.
* DETERMINADOS (Soluci´on u´nica)→ S.C.D.
* COMPATIBLES (Tienen soluci´on)
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.
7.5.
Sistemas con dos inc´
ognitas
Los sistemas m´as sencillos son aquellos en los que s´olo hay dos inc´
ognitas y 2 ecuaciones, y que ya
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas...
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.1.
Introducci´
on
Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
las inc´ognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal con tres inc´
ognitas.
Como es bien sabido, las ecuacioneslineales con 2 inc´
ognitas representan una recta en el plano.
Si la ecuaci´
on lineal tiene 3 inc´
ognitas, su representaci´on gr´
afica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 7.1: Representaci´on gr´
afica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de lossistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geom´etricamente representan la misma recta o plano.
109
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.2.
110
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales dela forma:
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2
..
.
am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas.
ognitas (o n´
umeros a
Los n´
umeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´
determinar) y bj se denominant´erminos independientes.
En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
del sistema simult´aneamente.
Diremos que dos sistemasson equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
7.3.
Expresi´
on matricial de un sistema
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
x1
b1
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n x2 b2
..
..
..
.. · .. = ..
.
.
.
.
.
.
. . .
am1 am2 am3 . . . amn
xn
bmmxn
nx1
mx1
a1n
x1
x2
a2n
.. se llama matriz de coeficientes, la matriz X = ..
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
b1
b2
se llama matriz de inc´
ognitas, y la matriz B = . se llama matriz de t´erminos independientes.
..
bm
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 .. . a2n b2
(A|B) = .
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
a11
a21
La matriz A = .
..
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
am1 am2 am3 . . .
amn bm
se llama matriz ampliada del sistema y se representar´a por (A|B) o bien por A∗ .
x+y−z = 5
Ejemplo: El sistema:
x+y =7
escrito matricialmente es:
2x + 2y − z = 12
1 1 −1
x
5
1 1 0 · y = 7
2 2 −1
z
12
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
111
y la matriz ampliada es:
1 1 −1 5
(A|B) = 1 1 0 7
2 2 −1 12
7.4.
Tipos de sistemas
En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´
umeros reales R. Dependiendo del
posible n´
umero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´estos de puedenclasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen soluci´on)→ S.I.
* DETERMINADOS (Soluci´on u´nica)→ S.C.D.
* COMPATIBLES (Tienen soluci´on)
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.
7.5.
Sistemas con dos inc´
ognitas
Los sistemas m´as sencillos son aquellos en los que s´olo hay dos inc´
ognitas y 2 ecuaciones, y que ya
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas...
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