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PRÁCTICA 7
Escalamiento de impedancia y de frecuencia

Objetivo: Presentación de los teoremas de escalamiento de impedancia y de frecuencia.
Familiarizar al alumno con la aplicación práctica de dichos teoremas.
Apreciar la importancia de tales teoremas en el diseño de filtros eléctricos.

Teoría básica
Escalamiento de impedancia.
Considere una red plana, lineal e invariante en el tiempo,cuya entrada es el voltaje Vi y la salida es el voltaje
Vo, correspondiente a una rama arbitraria de la misma. Como se muestra en la Fig. 1.
Z1
IM
+

V
0

Vi

Z3

Z2

Z
o

IL

Figura 1. Red plana, lineal e invariante de n mallas.
El voltaje Vo, de la rama de impedancia Zo, está dado por
Vo = Z o (I L − I M )

(1)

y la ecuación de mallas de la red es
 Z11
M

 Zn1


L Z1n 
M

L Z nn 


Z11 L Z1(L −1)

Vi

Vi 
0

0


In

Z12
M
Z n2

I1
M

=

resolviendo para I L e I M

M
IL =

M

Z1(L +1)
M

0

Z n1 L Z n(L −1)

0

L Z1n
M

Z n(L +1) L Z nn

Z11 L Z1n
M

M

Z n1 L Z nn

49

(2)

Z11 L Z1(M −1)
M
IM =

Vi
0

M

Z n1 L Z n(M −1)

Z1(M +1)

L Z1n

M

M

Z n(M +1)L Z nn

0

Z11 L Z1n
M

(3)

M

Z n1 L Z nn
Si se define
Z11 L Z1n
∆= M

M

(4)

Z n1 L Z nn
Z 21 L Z 2(L −1)
∆L = M

Z 2(L +1) L Z1n

M

M

Z n1 L Z n(L −1)
Z 21 L Z 2(M −1)
∆M = M

M

(5)

Z n(L +1) L Z nn

M

Z 2(M +1) L Z1n
M

Z n1 L Z n(M −1)

M

(6)

Z n(M +1) L Z nn

Considerando las Ecs. (1), (2), (3), (4), (5) y (6) se tiene
Vo = Vi(∆ L − ∆ M ) Z
∆

(7)

o

por lo que la función de transferencia es

(

)

∆L − ∆
Vo
M
=
Zo
Vi
∆

(8)

Si todas las impedancias que constituyen la red se multiplican por un factor k se tiene, de la Ec. (8)

(

)

'
Vo
∆ ' − ∆ 'Μ
=L
kZ o
Vi'
∆'

(9)

donde por álgebra de determinantes
∆ 'L = k n −1 ∆ L

(10.a)

∆ 'M = k n −1 ∆ M

(10.b)

∆' = k n ∆(10.c)

sustituyendo las Ecs. (10) en la Ec. (9)
50

'
Vo k n (∆ L − ∆ M )Zo Vo
=
=
Vi
kn∆
Vi'

(11)

de esta última expresión se concluye lo siguiente.
Si en una red se multiplican todas las impedancias por una misma constante, la función de transferencia (si
ésta es la razón de un voltaje de salida a un voltaje de entrada) no se altera.
En función de los elementos queconforman la red.
Si en una red todas las inductancias y resistencias que la constituyen se multiplican por una constante k y los
capacitores de la misma red se dividen por la constante k, la función de transferencia (si ésta es la razón de un
voltaje de salida a un voltaje de entrada) no se altera.

Escalamiento de frecuencia.
La respuesta permanente de un sistema lineal, invariante en el tiempoy estable debido a una entrada de la
forma x(t) = sen ωt está dada por
g(t) = H(jω) sen (ω t + ∠H(jω t))

(12)

donde H(jω) es la función de transferencia de la red evaluada en el eje imaginario del plano complejo.
En una red dada de b ramas
H(jω) = f(ωL1 ,..., ωL b , ωC1 ,..., ωC b , R 1 ,..., R b )
Para una frecuencia ω1 dada, se tiene
H ( jω1 ) = f (ω1 L 1 ,..., ω1 L b , ω1 C 1 ,...,ω1 C b , R 1 ,..., R b )

(13)

Para una frecuencia ω 2 dada, suponiendo que las inductancias y capacitancias de cada rama son modificadas
'
H(jω2 ) = f(ω2 L'1 ,..., ω2 L'b , ω2 C1 ,..., ω2 C 'b , R 1 ,..., R b )

(14)

Si se desea que las respuestas en frecuencia en estado permanente, dadas por las Ecs. (13) y (14), sean iguales
se requiere que

'
ω1L K = ω2 L K

(15)

'
ω1C K= ω2 C K

(16)

de donde, los nuevos valores de los elementos inductivos y capacitivos para que se cumpla lo dicho en el
párrafo anterior son
ω
'
LK = 1 LK
ω2

(17)

51

ω
'
CK = 1 CK
ω2

(18)

de lo anterior se concluye.
Si se desea que la respuesta senoidal permanente de una red a una cierta frecuencia ω2 presente las mismas
características de magnitud y fase que se...