Nocion intuitiva de limite

Noción Intuitiva de límite
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
Empecemos con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4. pero seamos un poco ingeniosos y cremos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
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Esta última función es igual a x2 en todas partes excepto por x=2 dondeno existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como
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Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hacemás y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente como sigue

Intuitivamente, el límite L es simplemente elnúmero al que f(c) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Ahora esta idea de hablar acerca de una función cuando ella se aproxima a algo fue un descubrimiento mayor, porque nos permite hablar de cosas que antes no hubiéramos podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pqueña. 1/x se hace más y máscercano a cero, entre más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca se hace cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando esta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir
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[editar] Aplicación al cálculo de lavelocidad instantánea
Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.
Perodesafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (figura 2).
Ahora lo que realmente queremos en escontrar la velocidad en un momento dado. (figura 3). El problema es que paraencontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio de auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.
Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contratiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea.
[editar] Definición formal de límite
Ladefinición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| <...