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Función: imagen y preimagen



A modo de recapitulación, podemos definir función de la siguiente manera:

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se leasocia o corresponde.

Para simbolizar que se ha establecido una función f, de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación:

f : A → B



Criterio de la función

En un sentido abstracto, calcular una función consiste en examinar la correspondencia general de “y” con respecto a “x”, expresado en la fórmula abstracta:

y = f(x)

Esta fórmula establece que la magnitud “y”está, de modo general, en función de “x”.

Ojo, que la magnitud “y” corresponde a lo que luego llamaremos “imagen”, y que depende del valor que se le asigne a “x” (que será la “preimagen”) en f(x).

La notación y = f (x) se lee “y” es una función de “x” o “y” es igual a f de x (esta notación no significa f por (x)). Obviamente en lugar de “x” e “y” hubiésemos podido emplear “variable”, yescribirlo así:

Variable dependiente = f (variable independiente)



Ejemplo 1

Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble.

funcion_imagen_001

Entonces f(x) = 2x

En efecto

f(1) = 2 • 1 = 2

f(2) = 2 • 2 = 4

f(3) = 2 • 3 = 6

Tenemos

Dominio = {1, 2, 3}

Codominio = {2, 4, 6}

Ámbito (rango o recorrido) = {2, 4, 6}

Ejemplo 2

Si A = {1, 3,5} y B = {3, 5, 7, 9, 11} y su correspondencia es el doble más uno.

funcion_imagen_002

Entonces f(x) = 2x + 1

En efecto:

f(1) = 2 • 1 + 1 = 3

f(3) = 2 • 3 + 1 = 7

f(5) = 2 • 5 + 1 = 11

Tenemos

Dominio = {1, 3, 5}

Codominio = {3, 5, 7, 9, 11}

Ámbito (rango o recorrido) = {3, 7, 11}



Conceptos básicos de la función

Dada una función f : A → B (es lo mismo que f: X → Y) se define:

* El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, se puede representar como f D.

* Al conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio.

* Se llaman preimágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio.

* Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimagen, mediante el criterio de la función.* Se llama rango (recorrido o ámbito) de una función al conjunto formado por las imágenes. Este conjunto es un subconjunto del codominio, se puede representar como f R ó f A, respectivamente.

Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos lo que se denomina Diagramas de Venn-Euler.

funcion_imagen_002b



Ver: Funciones matemáticas

Ejemplo 3

Analizar el siguiente diagrama querepresenta una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito (rango o recorrido).

funcion_imagen_003

Tenemos

Dominio (Df) = {1, 2, 3, 4}

Codominio = {1, 4, 9, 16, 25}

Ámbito (Af) = {1, 4, 9, 16}

Ejemplo 4

Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito.

funcion_imagen_004

Tenemos

Dominio (Df) = {1,2 3, 4}Codominio = {−1, −2, −3, −4}

Ámbito (Af) = {−1, −2, −3, −4}

Recuerde que los elementos del dominio se llaman preimágenes y los
elementos del ámbito (rango o recorrido) se llaman imágenes.

Debido a que es posible que el codominio y el ámbito estén compuestos por el mismo conjunto de elementos, suele pensarse que codominio y ámbito es lo mismo, el concepto y los ejemplos anteriores nospermiten darnos cuenta que pensar así es un error.



Cálculo de la imagen

Debemos recordar que el conjunto de partida esta formado por las preimágenes y, se llama dominio, las preimágenes son los valores que toma la variable independiente.

Ejemplo 5

Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día?...