Nociones de geometría
Páginas: 21 (5024 palabras)
Publicado: 26 de febrero de 2015
CONTENIDO
Pág.
Presentación
2
Introducción
3
1.
Espacios Euclidianos
4
2.
Distancia entre dos puntos
5
3.
Concepto de vector. Definición geométrica
8
4.
Igualdad de Vectores
11
5.
Translación de vectores. Definición analítica
13
6.
Producto por escalar - Vectores paralelos
18
7.
Suma de Vectores
22
8.
Propiedades desuma de vectores y
producto por escalar
25
Norma de vectores - Distancia entre dos
vectores
29
9.
10. Producto interno
32
11. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad
39
12. Vector proyección
50
13. Propiedades de determinantes de tercer orden
54
14. Producto vectorial - Producto mixto.
65
15. Planos en el espacio
16. Rectas en el espacioBibliografía
_
83
98
109
PRESENTACION
La puesta en marcha de los nuevos planes de estudio
para
Ingenierías
el
trabajo
la
producción
que
hacen
énfasis
del
estudiante
extraclase
de
bibliográfica
que
abundante
material
complemente
particular
en
requiere
de
de
referencia
convenientemente
las
directrices de las clases.Con
este
propósito,
Matemáticas
de
y
primer
dirigidas
semestre
a
en
estudiantes
de
Ingenierías,
el
Profesor OCIAR EVELIO OSPINA A . ha preparado sus NOTAS
DE GEOPETRIA VECTORIAL en donde expone su punto de
vista sobre lo que debe ser el enfoque y la secuencia
pedagógica con la que se debe afrontar esta temática.
Ante las expectativas que se estángenerando alrededor
de nuevas metodologías, éste y otros documentos deben
considerarse
la
experiencia
estrategias
los
como
de
objetivos
alternativas
docente
discusión
de
las
de
que,
sus
para
autores,
el
materias
curriculos.
CARLOS EDUARDO ORREGO ALZATE
Director Departamento de Ciencias
respaldadas
sugieren
cumplimiento
de
los
en
denuevos
INTRODUCCION
Las presentes notas de Geometría Vectorial pretenden
ser una
en el
ayuda para los estudiantes que se
tema de vectores
y deberá ser
inician
complementado
con ejercicios sobre el tema.
Agradezco
la
lectura
y comentarios
que del
primer
borrador de estas notas hicieron los profesores LUCY
YANETH MEDINA DE POLO y LUIS ALVAROSALAZAR SALAZAR.
OMAR EVELIO OSPINA A.
Profesor
Universidad Nacional
u
1 . ESPACIOS EUCLIDIANOS
Recordemos que R , el conjunto de los números reales,
se puede representar por los puntos sobre una recta,
llamada recta real.
R 2 = R X R = {(x, y) | x e R , y , Y e R}
es decir el producto cartesiano de R consigo mismo,
se puede
representar por el conjunto
de puntos en
el plano.R 3 = {(x, y, z) | x e R , y e R , z e R)
se puede
representar por el conjunto de puntos en
el espacio. Pero el conjunto
R n = N R X R XY ... X R =f
n veces
= í(xi» x 2 , xs, ..., x n ) | x. e R ,
para
i
=
1,
2 , ... n}
no se puede representar gráficamente para n > 3,
pero
no
que
2
R
por
o
ello
3
R ,
posteriores.
como
son
lo
conjuntosmenos
podrán
apreciar
importantes
en
cursos
5
FIGURA 1
2 . DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Observemos la Figura 2 . Sean P 0
p
i • (xi» Yi» zi)
espacio.
Vamos
puntos P 0 y P l t
a
es
dos
puntos
calcular
decir
la
la
= (x0, y o t
cualesquiera
distancia
longitud
del
zD) y
en
el
entre
los
segmento
6
de recta P 0 Pj ;sea L la magnitud de la proyección
del segmento P 0 Pi
PotQ»
p
i
sobre el plano
determinan
un
x y;
triángulo
los
puntos
rectángulo.
Si
notamos d ( P 0 , Pi) la distancia entre P 0 y Pi, entonces
por el teorema de Pitáqoras se tiene que
[d(P 0 ,Pi)] 2 = L 2 + (zi
- zQ)2.
Analicemos
ahora
el
triángulo que reposa en el plano x y cuyos vértices...
Pág.
Presentación
2
Introducción
3
1.
Espacios Euclidianos
4
2.
Distancia entre dos puntos
5
3.
Concepto de vector. Definición geométrica
8
4.
Igualdad de Vectores
11
5.
Translación de vectores. Definición analítica
13
6.
Producto por escalar - Vectores paralelos
18
7.
Suma de Vectores
22
8.
Propiedades desuma de vectores y
producto por escalar
25
Norma de vectores - Distancia entre dos
vectores
29
9.
10. Producto interno
32
11. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad
39
12. Vector proyección
50
13. Propiedades de determinantes de tercer orden
54
14. Producto vectorial - Producto mixto.
65
15. Planos en el espacio
16. Rectas en el espacioBibliografía
_
83
98
109
PRESENTACION
La puesta en marcha de los nuevos planes de estudio
para
Ingenierías
el
trabajo
la
producción
que
hacen
énfasis
del
estudiante
extraclase
de
bibliográfica
que
abundante
material
complemente
particular
en
requiere
de
de
referencia
convenientemente
las
directrices de las clases.Con
este
propósito,
Matemáticas
de
y
primer
dirigidas
semestre
a
en
estudiantes
de
Ingenierías,
el
Profesor OCIAR EVELIO OSPINA A . ha preparado sus NOTAS
DE GEOPETRIA VECTORIAL en donde expone su punto de
vista sobre lo que debe ser el enfoque y la secuencia
pedagógica con la que se debe afrontar esta temática.
Ante las expectativas que se estángenerando alrededor
de nuevas metodologías, éste y otros documentos deben
considerarse
la
experiencia
estrategias
los
como
de
objetivos
alternativas
docente
discusión
de
las
de
que,
sus
para
autores,
el
materias
curriculos.
CARLOS EDUARDO ORREGO ALZATE
Director Departamento de Ciencias
respaldadas
sugieren
cumplimiento
de
los
en
denuevos
INTRODUCCION
Las presentes notas de Geometría Vectorial pretenden
ser una
en el
ayuda para los estudiantes que se
tema de vectores
y deberá ser
inician
complementado
con ejercicios sobre el tema.
Agradezco
la
lectura
y comentarios
que del
primer
borrador de estas notas hicieron los profesores LUCY
YANETH MEDINA DE POLO y LUIS ALVAROSALAZAR SALAZAR.
OMAR EVELIO OSPINA A.
Profesor
Universidad Nacional
u
1 . ESPACIOS EUCLIDIANOS
Recordemos que R , el conjunto de los números reales,
se puede representar por los puntos sobre una recta,
llamada recta real.
R 2 = R X R = {(x, y) | x e R , y , Y e R}
es decir el producto cartesiano de R consigo mismo,
se puede
representar por el conjunto
de puntos en
el plano.R 3 = {(x, y, z) | x e R , y e R , z e R)
se puede
representar por el conjunto de puntos en
el espacio. Pero el conjunto
R n = N R X R XY ... X R =f
n veces
= í(xi» x 2 , xs, ..., x n ) | x. e R ,
para
i
=
1,
2 , ... n}
no se puede representar gráficamente para n > 3,
pero
no
que
2
R
por
o
ello
3
R ,
posteriores.
como
son
lo
conjuntosmenos
podrán
apreciar
importantes
en
cursos
5
FIGURA 1
2 . DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Observemos la Figura 2 . Sean P 0
p
i • (xi» Yi» zi)
espacio.
Vamos
puntos P 0 y P l t
a
es
dos
puntos
calcular
decir
la
la
= (x0, y o t
cualesquiera
distancia
longitud
del
zD) y
en
el
entre
los
segmento
6
de recta P 0 Pj ;sea L la magnitud de la proyección
del segmento P 0 Pi
PotQ»
p
i
sobre el plano
determinan
un
x y;
triángulo
los
puntos
rectángulo.
Si
notamos d ( P 0 , Pi) la distancia entre P 0 y Pi, entonces
por el teorema de Pitáqoras se tiene que
[d(P 0 ,Pi)] 2 = L 2 + (zi
- zQ)2.
Analicemos
ahora
el
triángulo que reposa en el plano x y cuyos vértices...
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