nociones matematicas

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 
 10B.  DERIVADAS PARCIALES 
  10B.1  Derivada parcial de una función de varias variables.
  Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)
  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera unaconstante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :
  Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la yconstante), mientras quela derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

  Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

  Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadasparciales son:



en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.
 
  10B.2  Diferencial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".
Como ejemplo, expresemosla diferencial de la función:    , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

  Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.
  Para lafunción  las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:


 
  10B.3  Derivadas parciales de segundo orden.
  Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer  "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)
  Estas derivadas vienen definidas de la siguientemanera:
 
  Se trata de derivar respecto de x la derivada .
  Se trata de derivar respecto a x la derivada .
   Se trata de derivar respecto a y la derivada .
   Se trata de derivar respecto a y la derivada  .
  Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

  Las derivadas  son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas soniguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.
 
   10B.4  Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.
  Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy seacontinua en este punto, para que tengamos:

es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola". 
  En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas.
  A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 22 :

    Eneste caso los elementos que se encuentren en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso de una función de tres variables  w = f(x, y, z), el número de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos expresar así:

coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal...