nombre auri

EL NOMBRE D’OR
Miguel Ángel Zambrana Contreras.
IES Barres i Ones. Tutor: Carles Dorce. 2n de Batxillerat.

DEFINICIÓ GENERAL DE
L’origen de la raó àuria es remunta als temps dels pitagòrics (s. VI - V aC), que creien en l’origen del món basat en nombres i tenien com a símbol l’estel regular de cinc punxes. Per poder
definir el nombre d’or m’he basat en el llibre Elements d’Euclides (s. IIIaC), que es pot considerar com la gran obra matemàtica de l’antiguitat que ens ha arribat als nostres dies. Podem definir doncs, el nombre d’or mitjançant l’extrema i mitjana raó, en la qual per la prèvia explicació
utilitzarem un segment d’una unitat de longitud. Dividirem aquest segment en dues parts; la primera l’anomenarem a, i la segona, 1 – a; en aquest segment existeix la relació tal quela divisió
de la unitat entre a és igual a la divisió d’a per 1 – a. Mitjançant la multiplicació per creu i resolent l’equació de segon grau que ens surt, podem arribar a la conclusió que a és igual a (el resultat negatiu que ens surt no el donem per bo). Finalment, utilitzant una regla de tres, i tenint
en compte que a és igual a una unitat, podem observar que x (o incògnita) té un resultat, ésa
dir, ϕ.

ALTRES APARICIONS D’AQUEST NOMBRE A LA MATEMÀTICA
També podem trobar aquest nombre en un pentàgon regular. Podem definir doncs, el nombre
d’or com la relació (o divisió) que existeix entre la diagonal del pentàgon regular i un dels seus
costats.
El rectangle auri és una de tantes aplicacions matemàtiques on podem trobar el nombre auri.
La relació entre la base i l’alturad’aquest rectangle (o a l’inrevés) és igual al nombre ϕ. Per a
l’obtenció d’aquest rectangle hi ha múltiples mètodes, però en aquest cas només explicarem el
més senzill.

Per a la construcció del rectangle primerament construïm un quadrat qualsevol ABCD en què
bisequem un segment MN; posteriorment utilitzem el compàs i fem un arc EC utilitzant com a
centre N i radi CN. Prolongarem DC; seguidamentconstruïm el segment EF perpendicular al
segment AE, i també prolonguem DC que talla la prolongació d’EF en el punt F. Així que finalment ja tenim el rectangle auri ADFE.
L’espiral logarítmica és, sens dubte, una de les aplicacions importants de la matemàtica on podem trobar el nombre ϕ, ja que té molt a veure amb el rectangle auri.
El rectangle auri és també regenerat, és a dir, dins dels nousrectangles auris podem obtenir un
altre rectangle auri. Començant pel rectangle auri ABCD, el rectangle auri ECDF és fàcilment
creat dins de la part rectangular de l’anterior rectangle (ABCD). El mètode per aconseguir l’espi95

ral logarítmica és utilitzant el producte final d’aquests infinits rectangles auris encaixats en altres
rectangles auris, és a dir, connectant tots els punts d’una deles cantonades dels quadrats que
es formen en construir els rectangles auris. Per fer això, utilitzem el compàs, i fem arcs amb
quarts de cercle dins d’aquests quadrats. Són aquests arcs, o la seva unió, allò que forma la famosa espiral logarítmica.

LES PROPIETATS DE
El nombre ϕ és un nombre especial ja que té unes propietats molt singulars. La primera propietat indica que ϕ és l’únic nombrereal positiu del qual s’obté el quadrat (ϕ2) sumant-li 1 (ϕ2 = ϕ +
1). La segona propietat exposa que ϕ és l’únic nombre que es pot convertir en el seu recíproc
amb l’única operació de restar-li 1 (= ϕ – 1). La tercera i darrera propietat que he estudiat i trobat ens indica que tenint un segment AC de ϕ unitats que és dividit en extrema i mitjana raó, on
AB val ϕ – 1 i BC val una unitat, podemdir que la relació entre AB i BC és igual a la relació entre BC i AC, i que el resultat de qualsevol d’aquestes dues relacions dóna un resultat equivalent
a ϕ - 1.

LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
Leonardo de Pisa (Pisa 1170 – Pisa 1240), també anomenat Fibonacci, va ser un personatge
molt important en la matemàtica. Una de les seves grans obres va ser el Liber Abaci. Aquest llibre consta de...