nomeros reales

2

CAPÍTULO 1 Álgebra

1.1
Números reales
Aprenderá acerca de...
■

La representación
de números reales

■

El orden y la notación
de intervalo

■

Las propiedades básicas
del álgebra

■

La notación científica

Un número real es cualquier número que pueda escribirse como un decimal.
Los números reales se representan mediante símbolos tales como Ϫ8, 0, 1.75,
2.33...,0.36, 8 ր5, ͙3 , ͙16 , e, y ␲.
ෆෆ
ෆ 3 ෆෆ

Los exponentes enteros

■

Representación de números reales

. . . porque
Estos temas son fundamentales en el estudio de la matemática y la ciencia.

El conjunto de los números reales contiene a otros subconjuntos importantes:
Los números naturales (o de conteo):

͕1, 2, 3, . . .͖

Los enteros no negativos:

͕0, 1, 2, 3, . . .͖

Losenteros:

͕. . . , Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, . . .͖

Las llaves { } son utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un conjunto. Los números racionales son otro importante subconjunto de los números reales. Un número racional es cualquier número que pueda escribirse como una
razón (o cociente) a/b de dos enteros, donde b 0. Podemos utilizar la notación
de construcción de conjuntospara describir a los números racionales:

{Η

a
ᎏᎏ a, b son enteros y b
b

}

0

La línea vertical que sigue a a/b se lee “tal que”.
La forma decimal de un número racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o bien
៮
se repite infinitamente como 4/11 = 0.363636... ϭ 0.36 . La barra sobre el 36 indica un bloque de dígitos que se repiten. Un número es irracional si no es racional. La formadecimal de un número irracional es infinita y no se repite. Por
ejemplo, ͙ෆ = 1.7320508. . . y ␲ = 3.14159265. . .
3
En una calculadora, los números reales se aproximan dando sólo unos cuantos de
sus dígitos. Algunas veces —no muy frecuentemente— es posible determinar con
una calculadora la forma decimal de números racionales.

SECCIÓN 1.1 Números reales

1/16
.0625
55/27

3EJEMPLO 1 Análisis de formas decimales
de números racionales
Determine la forma decimal de 1/16, 55/27 y 1/17.

2.037037037
1/17
.0588235294
N
FIGURA 1.1 Representación decimal en
una calculadora de 1/16, 55/27 y 1/17, con
la configuración de la calculadora en modo
decimal de punto flotante (ejemplo 1).

SOLUCIÓN La figura 1.1 sugiere que la forma decimal de 1/16 termina y que
55/27 serepite en bloques de 037.
1
55
៮៮
ᎏᎏ ϭ 0.0625
y
ᎏᎏ ϭ 2.037
16
27
Con base en la figura 1.1, no podemos predecir la forma decimal exacta de 1/17;
sin embargo, decimos que 1/17 Ϸ 0.0588235294. EL símbolo Ϸ se lee “es aproximadamente igual a”. Podemos utilizar la división larga para mostrar que
1
៮៮៮៮៮៮៮
ᎏᎏ ϭ 0.0588235294117647 .
17

Los números reales y los puntos de una recta puedenhacerse corresponder uno a
uno para formar una recta de números reales. Iniciamos con una recta horizontal
y asociamos el número real cero con un punto O, el origen. Se consideran números positivos a los situados a la derecha del origen y números negativos los que
están a la izquierda, como se muestra en la figura 1.2.

– 3
–5 –4 –3 –2 –1
Números
reales negativos

π

O
0

1

2 3 45
Números
reales positivos

FIGURA 1.2 La recta de los números reales.

Cada número real corresponde a uno y sólo a un punto de la recta de números reales, y cada punto en la recta de números reales corresponde a uno y sólo un número real. Entre cada par de números reales en la recta numérica existe una infinidad
de números reales más.
El número asociado con un punto es la coordenada delpunto. Siempre que el contexto sea claro, seguiremos la convención estándar de usar el número real para el
nombre tanto del punto como de su coordenada.

Orden y notación de intervalo
El conjunto de números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar cualesquiera dos números reales que no sean iguales mediante desigualdades y
decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro....