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POLINOMIOS

Definición: Función Polinómica.

Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:


Definición: Polinomio.

Polinomio de variable real x, es toda expresión de la forma:


OBSERVACIONES:

Se puede decir que el polinomio P(x) es el medio para calcular el número f(x).
- se denominancoeficientes del polinomio.
- el subíndice i de indica que es el coeficiente de (i es un natural que varía entre 0 y n)

Ejemplo:


Definición: Llamaremos VALOR NUMÉRICO de un polinomio P(x) con respecto a un número real  al número que so obtiene luego de efectuar operaciones en P(x) cuando se sustituye la variable x por . (notaremos P()).

Ejemplo:


Definición: Raíz de P(x).En el ejemplo anterior observamos que P(1) = 0, por lo tanto x = 1 es raíz de P(x).

Definición: Grado de un polinomio.

El grado de , es el mayor i natural tal que .
Notación: ,

Ejemplo:


Definición: Polinomio Nulo.


No existe el grado del polinomio nulo.
El polinomio nuloadmite infinitas raíces.


Definición: Polinomios Idénticos.



Es decir, dos polinomios son idénticos si, tienen igual grado, y además los coeficientes de los términos del mismo grado sean iguales.

Observación:

Si dos polinomios son idénticos, sus valores numéricos son iguales para cualquier x real.

OPERACIONES CON POLINOMIOS.

Definición: SUMA DE POLINOMIOS:



S(x) por suforma es un polinomio cuyos coeficientes son los reales . Esto significa que cada coeficiente del polinomio S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes, es decir, los términos de igual grado.

Definición: Polinomios opuestos.

, el polinomio opuesto de P(x) es . Notación: el polinomio opuesto de P(x) lo notaremos –P(x).

Definición: Diferencia de Polinomios:

Dados lospolinomios P(x) y Q(x), Al polinomio D(x) lo llamamos diferencia entre P(x) y Q(x) y – es la sustracción entre polinomios.

Definición: PRODUCTO DE POLINOMIOS:

Dados los polinomios y , el producto A(x).B(x) es .

Algunas consecuencias:











Definición: DIVISIÓN ENTERA

Definición: División Entera.

verifican:


- Nota: Admitiremos el esquema de división:Observaciones:

1) El cociente y el resto de una división son únicos.

2) En el caso en que decimos:
- D(x) divide a A(x).
- A(x) es divisible por D(x).
- A(x) es múltiplo de D(x).
- La división A(x) por D(x) es exacta.

3)

División por (x - )

- Sea un polinomio P(x) dividido por (x - ). Es decir



El grado del polinomio cociente es la diferencia entre los grados de lospolinomios dividendo y divisor. Llamando n al grado del polinomio dividendo tenemos que.
El coeficiente principal de Q(x) es igual al coeficiente principal de A(x) pues surge de dividir este último por 1, ya que, en esta división, 1 es el coeficiente principal del divisor.

Esquematizando:
.




Esquema de Ruffini.

Muchas veces para resolver determinados problemas es útil un algoritmoconocido como “Esquema de Ruffini1”

Hallaremos el cociente y resto de dividir por B(x) = x-2.




5
7
-21
0
6
2

10
34
26
52

5
17
13
26
58
.




¿Cómo usar el esquema de Ruffini cuando el divisor es ?

Tratemos de transformar este problema, en uno ya visto.

Con lo cual realizamos una “nueva” división:, obteniendo un cociente C(x) y resto r.

.







-Hallemos el cociente y resto de dividir por B(x) = 3x+5.

3
-1
5
2


-5
10
-25

3
-6
15
-23



LEY DEL RESTO

El resto de dividir un polinomio A(x) por x- es el número A().


Observación:

TEOREMA DE DESCARTES

La condición necesaria y suficiente para que P(x) sea divisible por x -  es que,  sea raíz de P(x).




Notas:

El dato S(x) es divisible por x-...