Noriega - calculo diferencial e integral

´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
RICARDO J. NORIEGA

´ Indice General Pr´logo del autor o El autor Plan de la obra 3. L´ ımite de sucesiones 3.1. Definici´n de l´ o ımite de una sucesi´n o 3.2. Algunas propiedades del l´ ımite 3.3. L´ ımites infinitos 3.4. Algunos l´ ımites importantes 3.5. Un criterio de convergencia 3.6. El n´mero e u 3.7. La funci´n logaritmo o 3.8. Otras propiedades del l´ımite 3.9. Teoremas de encaje de intervalos y de Bolzano-Weierstrass 3.10. Sucesiones de Cauchy Problemas adicionales 4. Series num´ricas e 4.1. Definici´n de serie o 4.2. Series de t´rminos positivos: criterios de convergencia e Referencias ´ Indice de Figuras ´ Indice de Tablas ´ Indice de Autores ´ Indice 1 3 3 3 3 12 17 20 23 25 30 32 36 40 42 43 43 45 47 48 48 49 50

´ Prologo del autor Lamayor´ de los textos sobre C´lculo Diferencial e Integral caen en una de estas ıa a dos categor´ ıas: la de aquellos que buscan transmitir al lector pericia en las operaciones propias del C´lculo (paso al l´ a ımite, derivaci´n, integraci´n) y la de aquellos o o que ponen el acento en el rigor de las deducciones y en los aspectos conceptuales. Ha sido mi intenci´n conseguir con este libro inducir enel lector la mencionada o
Date: 08 de junio de 2001. Key words and phrases. C´lculo, Sucesiones num´ricas, Series num´ricas. a e e Trabajo realizado por los alumnos (Olga Scagnetti, Pamela Llop, Mar´ Fern´ndez, Diego Riıa a naldi, Ernesto Diez, Vanina Presutti, Mauricio Ramseyer, Lucrecia Mart´ ınez, Mar´ Saccavino, ıa Patricia Cettour) del Taller de Inform´tica de la Licenciatura en Matem´ticaAplicada, Departaa a mento de Matem´tica, FIQ, Universidad Nacional del Litoral, primer semestre de 2001. a
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pericia, sin sacrificar para ello lo que es, sin duda, uno de los aspectos distintivos de la matem´tica: la demostraci´n frente al argumento, el razonamiento frente al a o pseudorazonamiento. Desde luego, ello implica un doble trabajo tanto para el que escribecomo para el que estudia, pero es un trabajo que tiene en el mejor entendimiento del tema su recompensa, tanto para el que est´ interesado en las aplicaciones a del C´lculo como para el que desee introducirse en las matem´ticas superiores. a a Este libro est´ basado en los cursos que he dado en los ultimos a˜os en la Facultad a ´ n de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de BuenosAires, cursos que plantean la doble necesidad mencionada, ya que son tomados por matem´ticos as´ a ı como por estudiantes de otras ciencias, para los cuales el C´lculo es m´s una futura a a herramienta que un objeto de estudio en s´ mismo. ı Existe un excelente m´todo para no aprender nunca matem´ticas, y es el de e a esquivar las dificultades cada vez que ellas aparezcan. Por eso le aconsejo al lectorque entre de lleno en ellas y que no olvide nunca la importancia que en el estudio de las matem´ticas tiene el “mirar fijo”: si algo no se entiende bien, o no se entiende a para nada, detenerse en ese p´rrafo y pensar intensamente mientras se lo relee una a y otra vez, permite siempre llegar a un punto cr´ ıtico en donde la cosa se hace clara, y en donde lo que ya no se entiende es porque antes nose entend´ Porqu´ y c´mo ıa. e o sucede esto, es uno m´s de tantos misterios, pero que sucede, sucede. Y sobre todo, a no desanimarse por los tropiezos; si no los hubiera, entonces no estar´ aprendiendo ıa nada con esta lectura. He hecho abundante uso al escribir este libro de las excelentes notas del Dr. Enzo Gentile y del Lic. Fernando Carugno basadas en cursos anteriores de C´lculo a dictadosen la Facultad de Ciencias Exactas, y quiero agradecerles sinceramente su impensada colaboraci´n. Particularmente el ejemplo del curso dado por el Dr. o Gentile me ha hecho ver la posibilidad de tomar el toro por las astas y tratar la potencia de exponente real con todo detalle y rigor al comienzo del libro, sin esperar para ello a tener la noci´n de integral. o Hay m´s personas a quienes quiero...