Norma Y Numero De Condicion De Una Matriz

NORMA Y NUMERO DE CONDICIÓN DE UNA MATRIZ

RESUMEN:
El objetivo de este trabajo es estudiar el número de condición de sistemas de ecuaciones lineales. Nos involucraremos en primer lugar con la norma de una matriz paso indispensable para el numero de condicione de una matriz.
Haremos un análisis de la “Norma de Frobenius” y la “Norma de matriz inducida” para finalizar haremos un o dos ejemplosteóricos y los aplicaremos en MATLAB.

INTRODUCCIÓN:
En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de computadoras, es un tema de mucha importancia. Los analistas numéricos han estudiado el tiempo de ejecución y la memoria necesaria para implementar diferentes algoritmos en algebra lineal. En nuestro caso los algoritmos directos resuelven un sistema de ecuaciones lineales enuna cantidad infinita de pasos.
En la mayoría de los casos hay una perdida en la precisión en cada uno de los pasos del proceso de resolución. Una de las mayores preocupaciones es estimar el efecto de varios errores. Algunos de los problemas que surgen son los siguientes:
* Los elementos de la matriz A a considerar pueden traer errores inherentes al problema en si.
* Los elementos de lamatriz están exactamente definidos por alguna formula algebraica, pero aun así es probable que dichos elementos no estén en el sistema aritmético de la computadora.
* Otro problema es que, si tenemos dos números ya en el subconjunto E de R, las operaciones pueden caer fuera de E y por lo tanto al implementar un algoritmo con la matriz es muy probable que en las operaciones realizadas halla unaperdida de exactitud en los datos.
La pregunta aquí surge si es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales con grandes números de variables.
Sea A una matriz nXn con coeficientes reales invertible, y b ͼ Rn. Estamos interesados en resolver el sistema A.x = b, y queremos estudiar como se afecta la solución si se perturban los datos ingresados A y b. Seria conveniente conocer de antemanocuan distante es la solución del sistema perturbado x’ de la solución del sistema x. Con tales fines existe una cantidad que nos da una medida de esa sensibilidad. Dicha cantidad se denomina número de condición.
El numero de condición es definido por

K(A) = ||A||.||A-1||

siendo ||A|| la norma de la matriz.

||A|| = sup ||A||
x ͼ Rn ||x||= sup ||Ax||.
||X||=1

Aquí ||.|| indica la norma Euclidiana en Rn.

Esto es una breve introducción a lo que en verdad queremos llegar que es como se calcula el número de condición. A continuación explicaremos la norma de matrices, tiposde normas y el numero de condición en si.

Norma de Matrices:

La norma de una matriz es una manera de expresar la magnitud de sus componentes:

Sean X: Vector de n componentes
A: Matriz de nxn componentes

Sean u, v y p normas definidas sobre cuerpos Fmxn , Fnxp , Fmxp, respectivamente. Se dice que u, v y p son consistentes si para toda matriz ||A||ͼFmxn y |B| ͼFnxp severifica

P||A|.|B|| ≤ |u|A||.|v|B ||

En este caso una norma u definida por un cuerpo Fnxn se dice que es consistente si.
v|A|.|B|| ≤ |u|A||.|v|B|| ɏ|A|, |B| ͼFnxn

Una norma v definida en un cuerpo Fnxn consistente, también se dice que es multiplicativa o submultiplicativa.
Una norma definida por un cuerpo Fnxn se dice que es norma que es norma de una matriz si es consistente.Si u es una norma en un cuerpo Fnxn y v en Fn entonces u es consistente o compatible con la norma de vector v si para toda |A| ͼFnxn y todo vector {x} ͼFn.

v||A|.{x}| ≤ |u|{x}|

* Norma de Frobenius

La norma de frobenius viene dada por:

||[A]||F =(i=1nj=1n[aij]2 )1/2

si m = n es una norma de matriz, por lo que:

||[A]||F = Tr(A.A)

Donde Tr es la traza de una matriz, definida...