Normas De Vectores Y Matrices
Curso 2012-13
1
Definici´on y propiedades b´asicas
Definici´on
Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funci´on
ν : V −→ R es una norma en V si ν satisfacelas siguientes
propiedades:
(i) x = 0 ⇒ ν(x) > 0.
(ii) ν(αx) = |α|ν(x), ∀α ∈ F.
(iii) ν(x + y ) ≤ ν(x) + ν(y ), ∀x ∈ V (desigualdad triangular)
Primeras propiedades
1
ν(0) = 0 porque ν(0) = ν(0x) =0ν(x) = 0.
2
ν(−x) = ν(x) porque ν(−x) = | − 1|ν(x) = ν(x)
3
|ν(x) − ν(y )| ≤ ν(x − y )
2
Ejemplos: Normas
(a)
x
La norma
n
1
=
i=1
(b)
1:
o de H¨older
MATLAB: norm(x,1)
|xi |.
La norma2
o norma eucl´ıdea:
n
x
p
=
2
i=1
|xi |2 .
MATLAB:
norm(x),norm(x,2)
(c)
x
∞
La norma ∞ : MATLAB: norm(x,inf)
= m´ax |xi |.
1≤i≤n
(d)
La norma
norm(x,p)
n
x
p
=
i=1
p
general:MATLAB:
1/p
p
|xi |
.
3
Equivalencia de normas
Definici´on
Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que
µ y ν son equivalentes si existen n´
umeros reales positivos c1 yc2 tales que
c1 ≤
ν(x)
≤ c2 ,
µ(x)
∀x ∈ V .
Teorema
Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensi´on finita
son equivalentes.
Lema
(a) Todas las normas definidas en V , espaciovectorial sobre F, son
funciones continuas.
(b) Si V es un espacio vectorial de dimensi´on finita entonces la esfera
unidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto
compacto.
4
Normas dematriz
Definici´on
Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fm×n , Fn×p y Fm×p . Se dice
que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A ∈ Fm×n y
B ∈ Fn×p se verifica
ρ(AB) ≤ µ(A)ν(B).
En particular unanorma ν definida en Fn×n se dice que es
consistente si ν(AB) ≤ ν(A)ν(B) para todas A, B ∈ Fn×n .
Una norma ν definida en Fn×n consistente tambi´en se dice que es
multiplicativa o submultiplicativa.
Unanorma definida en Fn×n se dice que es una norma de matriz
si es consistente.
Si µ es una norma en Fn×n y ν en Fn entonces, µ es consistente o
compatible con la norma de vector ν si para toda A ∈...
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