Normas Vectoriales Y Matrices

2. Sistemas de ecuaciones lineales

2.1

Normas vectoriales y matriciales

Definici´n 2.1 [Concepto de norma]
o
Sea E un espacio vectorial definido sobre un cuerpo K. Se define una norma
como una aplicaci´n, que denotaremos por
o
, de E en R que verifica las
siguientes propiedades:
• x ≥ 0 ∀x ∈ E siendo
• λ x = |λ| x

x = 0 ⇐⇒ x = 0. Definida positiva.

∀λ ∈ K, ∀x ∈ E . Propiedad dehomogeneidad.

• x+y ≤ x + y

∀x, y ∈ E . Desigualdad triangular.

Es frecuente que en el espacio E se haya definido tambi´n el producto de dos
e
elementos. En este caso, si se verifica que
x·y ≤ x · y
se dice que la norma es multiplicativa.
Esta propiedad de las normas es fundamental cuando trabajamos en el conjunto de las matrices cuadradas de orden n.

Un espacio E en el que hemosdefinido una norma recibe el nombre de espacio
normado.
1

2

Sistemas de ecuaciones lineales

2.1.1

Normas vectoriales

Sea E un espacio vectorial de dimensi´n n y sea B = {u1 , u2 , . . . , un } una base
o
suya. Cualquier vector x ∈ E puede ser expresado de forma unica en funci´n
´
o
de los vectores de la base B .
n

x=

xi u i
i=1

donde los escalares (x1 , x2 , . . . , xn) se conocen como coordenadas del vector x
respecto de la base B .
Utilizando esta notaci´n, son ejemplos de normas los siguientes:
o
n

• Norma-1

x

1

|xi |

=
i=1

n

• Norma eucl´
ıdea o Norma-2

x

2

|xi |2

=
i=1

• Norma infinito

x

∞

= m´x |xi |
a
i

Ejemplo 2.1 Para los vectores
x = (2, 3, 0, −12)T
•

x

1

•

x

2

•

x

∞2.1.2

= 2 + 3 + 0 + 12 = 17
√
√
= 22 + 32 + 02 + 122 = 157
= | − 12| = 12

y = (1 + i, i)T
√
2+1
√
y 2 = |1 + i|2 + |i|2 = 3
√
y ∞ = |1 + i| = 2
y

1

= |1 + i| + |i| =

Distancia inducida por una norma

Definici´n 2.2 [Distancia]
o
Dado un espacio vectorial E , se define una distancia como una aplicaci´n
o
d : E × E → R cumpliendo que:

Normas vectoriales ymatriciales

• d(x, y ) ≥ 0

3

∀x, y ∈ E siendo d(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y .

• d(x, y ) = d(y, x)

∀x, y ∈ E .

• d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y )

∀x, y, z ∈ E .

Teorema 2.1 [Distancia inducida por una norma]
Si E ,
es un espacio normado, la norma
induce una distancia en E
que se conoce como distancia inducida por la norma
y viene definida por:
d(x, y ) = x − y
Demostraci´n. Veamos que,en efecto, se trata de una distancia:
o
• d(x, y ) ≥ 0 por tratarse de una norma, y adem´s:
a
d(x, y ) = 0 ⇐⇒

x − y = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y.

• d(x, y ) = x − y = − 1(y − x) = | − 1| · y − x = y − x = d(y, x).
• d(x, y ) = x − y = x − z + z − y ≤ x − z + z − y =
= d(x, z ) + d(z, y ).

2.1.3

Convergencia en espacios normados

Una sucesi´n de vectores v1 , v2 , . . . de unespacio vectorial normado (V,
o
dice que es convergente a un vector v si

) se

lim vk − v = 0

k→∞

Esta definici´n coincide con la idea intuitiva de que la distancia de los vectores
o
de la sucesi´n al vector l´
o
ımite v tiende a cero a medida que se avanza en la
sucesi´n.
o
Teorema 2.2 Para un espacio vectorial normado de dimensi´n finita, el cono
cepto de convergencia esindependiente de la norma utilizada.

4

Sistemas de ecuaciones lineales

2.1.4

Normas matriciales

Dada una matriz A y un vector x, consideremos el vector transformado Ax.
La relaci´n existente entre la norma del vector transformado y la del vector
o
original va a depender de la matriz A. El mayor de los cocientes entre dichas
normas, para todos los vectores del espacio, es lo que vamos adefinir como
norma de la matriz A, de tal forma que de la propia definici´n se deduce que
o
Ax ≤ A

x

cualquiera que sea el vector x del espacio. (Obs´rvese que no es lo mismo que
e
la propiedad multiplicativa de una norma, ya que aqu´ se est´n utilizando dos
ı
a
normas diferentes, una de matriz y otra de vector).
Definici´n 2.3 [Norma de una matriz]
o
Se define

Ax
= m´x{ Ax : x...