Normas

Norma (matemáticas)
En álgebra linear, análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, a norma es a función eso asigna terminantemente un positivo longitud o tamaño a todos los vectores en a espacio del vector, con excepción de vector cero. A seminorm (o pseudonorm), por otra parte, se permite para asignar la longitud cero a algunos vectores diferentes a cero.
Un ejemplo simple es el de2 dimensiones Espacio euclidiano R2 equipado de Norma euclidiana. Los elementos en este espacio del vector (e.g., (3, 7)) se dibujan generalmente como flechas en un de 2 dimensiones sistema coordinado cartesiano empezar el origen (0, 0). La norma euclidiana asigna a cada vector la longitud de su flecha. Debido a esto, la norma euclidiana se conoce a menudo como magnitud.
Un espacio del vectorcon una norma se llama a normed el espacio del vector. Semejantemente, un espacio del vector con un seminorm se llama a seminormed el espacio del vector.
Contenido * 1 Definición * 2 Ejemplos * 2.1 Norma euclidiana * 2.2 Norma del taxi o norma de Manhattan * 2.3 p-norma * 2.4 Norma del infinito o norma del máximo * 2.5 Norma cero * 2.6 Otras normas * 2.7Caso dimensional infinito * 3 Características * 4 Sistemas absolutamente convexos y que absorben * 5 Notas * 6 Referencias * 7 Vea también |
Definición
A dada espacio del vector V sobre a subcampo F de números complejos por ejemplo el complejo se numera o verdadero o números racionales, a seminorm encendido V es a función con las características siguientes:
Para todos a en F y todos u yv en V,
1. p(a v) = |a| p(v), (homogeneidad positiva o scalability positivo)
2. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (desigualdad del triángulo o subadditivity).
Una consecuencia simple de estos dos axiomas, homogeneidad positiva y la desigualdad del triángulo, es p(0) = 0 y así
p(v) ≥ 0 (positividad).
A norma es a seminorm con la característica adicional
p(v) = 0 si y solamente si v es vector cero(determinación positiva).
Una norma se denota generalmente ||v||, y a veces |v|, en vez de p(v).
Aunque es cada espacio del vector seminormed (e.g., con el seminorm trivial en la sección de los ejemplos abajo), él puede no ser normed. Cada espacio del vector V con el seminorm p(v) induce a normed el espacio V/W, llamado espacio del cociente, donde W es el subspace de V consistir en todos losvectores v en V con p(v) = 0. La norma inducida encendido V/W se da cerca ||W+v|| = p(v) y está claramente bien definido.
A espacio topológico del vector se llama normable (seminormable) si topología del espacio puede ser inducido por una norma (seminorm).
Ejemplos
* Todas las normas son seminorms.
* seminorm trivial, con p(x) = 0 para todos x en V.
* valor absoluto es una norma ennúmeros verdaderos.
* Cada forma linear f en vector un espacio define un seminorm cerca x → |f(x)|.
Norma euclidiana
En Rn, la noción intuitiva de la longitud del vector x = [x1, x2, ..., xn] es capturado por el fórmula
Esto da la distancia ordinaria del origen al punto x, una consecuencia del Teorema Pythagorean. La norma euclidiana es en gran medida la norma más de uso general encendido Rn,pero hay otras normas en este espacio del vector como será demostrado abajo.
En Cn la norma más común es
, equivalente con la norma euclidiana encendido R2n.
En cada caso podemos también expresar la norma como raíz cuadrada de producto interno del vector y sí mismo. La norma euclidiana también se llama l 2, vea Lp espacio.
El sistema de los vectores que norma euclidiana es una constante dadaforma la superficie de a esfera.
Norma del taxi o norma de Manhattan
Artículo principal: Geometría del taxi
El nombre se relaciona con la distancia que un taxi tiene que conducir en un rectangular rejilla de la calle para conseguir del origen al punto x.
El sistema de los vectores que 1 norma es una constante dada forma la superficie de a polytope cruzado.
p- norma
Dejado p≥1 sea un número...