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Part I

La integral inde…nida
(Chapter head:)La integral inde…nida

La antiderivación
Muchas problemas de las ciencias y las ingenierías se modelan a través de ecuaciones en las que aparecedada explícitamente la derivada de una funcion real y; en términos de una variable independiente, digamos x. Esto es, por medio de una ecuación de la forma dy = f (x) dx donde f es una función de…nida enun intervalo I: Algunas preguntas naturales asociadas con dichos problemas son ¿Cómo obtener una función F diferenciable en I que satisfaga la ecuación dada?. Si la ecuación dada arriba tienesolución, ¿es única esta solución?. Además, si conocemos información adicional de la función desconocida, por ejemplo, su valor en un punto x0 2 I dado, entonces tenemos el siguiente problema dy = f (x) ; y(x0 ) = y0 dx En este capítulo presentamos cierta terminología relacionada con los problemas planteados y algunas técnicas que permiten obtener, en algunos casos, soluciones explícitas de los mismos.Primitiva e integral inde…nida de una función
De…nition 1 Sea una función f de…nida en un intervalo I: Decimos que una función F diferenciable en I es una primitiva o antiderivada de f en I si secumple que F 0 (x) = f (x) ; para todo x 2 I: Observación: De la de…nición se sigue que para veri…car que una función F dada es una primitiva de otra función f también dada,basta con derivar la primeray obtener la segunda. Si esto no ocurre, entonces la a…rmación es falsa. Use esta nota para veri…car las a…rmaciones hechas en los siguientes ejemplos. Example 1 1. Para cada c 2 R; la funcion Fcde…nida por Fc (x) = x3 + c es una primitiva de la función f dada por f (x) = 3x2 2. Cualquier función constante en ( 1; 1) es una primitiva de la función nula en ( 1; 1) :

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3. Las funcionesde…nidas por F (x) = sec2 x 2 y G (x) = tan2 x 2

son primitivas de la función f dada por f (x) = tan x sec2 x: Comentario Estos ejemplos evidencian que una función dada tiene una familia in…nita de...