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Páginas: 2 (308 palabras)
Publicado: 16 de agosto de 2014
UNIDAD 5.- Solución de ecuaciones diferenciales.
5.1 Métodos de un paso.
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.
Método de Euler
Se llama método de Euler al métodonumérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendienteen Xi (ver Gráfico Nº01). [1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]
Esta fórmula es conocidacomo el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).
Error para el método de Euler
Lasolución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicasempleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
Método de Euler Mejorado
Estemétodo se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente:
Donde
Paraentender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la rectabisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler.Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
5.1 Métodos de un paso.
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.
Método de Euler
Se llama método de Euler al métodonumérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendienteen Xi (ver Gráfico Nº01). [1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]
Esta fórmula es conocidacomo el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).
Error para el método de Euler
Lasolución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicasempleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.
Método de Euler Mejorado
Estemétodo se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente:
Donde
Paraentender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la rectabisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler.Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
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