Nose

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

Tiro parabólico
Física IV

Prof. Ing. Daniel Martínez G.
Escuela Nacional Preparatoria Plantel 5
Universidad Nacional Autónoma de México
Agosto 2004, México D.F.

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

.

G

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

La velocidad en componentes:

vx =v cos (θ )
v y 0 = v sen (θ )

Como en x es un movimiento con v = cte:

x = vx 0 t
ne
z

G

.

(1)

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

y en y es un movimiento con a = cte:

12
y = gt + v y 0t
2

(2)

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

x
t=
vx 0

.

Despejando de (1) a t obtenemos:

y sustituyendo en (2):

2

vy 0
1x
y= g 2 +
x2 vx 0 vx 0

Simplificando obtenemos la ecuación de la
trayectoria:

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

g
2
y= 2
x + tan (θ ) x
2
2v cos (θ )

(3)

Fijemos la magnitud de v en 30 m/s y
grafiquemos en función del ángulo para obtener
una serie de curvas e investigar a qué ángulo se
obtiene el mayor alcance (xmax)

Creando en MATLAB una función paracalcular
las trayectorias:

G

.

function [y,x]=tirop(v,teta);

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

g=9.81; % Aceleracion gravitacional
x=0:1/1000:100;
teta=pi*teta/180; % Convierte de grados a radianes
y=(-g/(2*v^2*(cos(teta)^2)))*x.^2+tan(teta)*x;

Ejecutando desde la ventana de comandos:

.
G
ne
z

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí>>[y1,x]=tirop(30,10);
>>y2=tirop(30,20);
>>y3=tirop(30,30);
.
.
.
>>y11=tirop(30,85);
>>plot (x,y1)
>>hold on
>>plot(x,y2)
.
.
.
>>plot(x,y11)
>>axis([0 100 0 50])
>>grid
>>hold off

De la gráfica observamos que el alcance máximo
se da a un ángulo de 45º.

G

.

Para determinar el alcance, igualemos a 0 la
ecuación de la trayectoria y resolvamos para x:
Fí
D sic
20 an a
05 ielIV
M
ar
tí

ne
z

g
2
0= 2
x + tan (θ ) x
2
2v cos (θ )
g
2
− tan (θ ) x = 2
x
2
2v cos (θ )

De esta última ecuación concluimos que x=0
(evidentemente desde donde fue lanzada).

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

g
− tan (θ ) = 2
x
2
2v cos (θ )

2v cos (θ )
x=−
tan (θ )
g
2

2

2v cos (θ ) sen (θ )
x=−
g
cos (θ )
2

2

2vsen (θ ) cos (θ )
x=−
g
2

G

.

y como:

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

1
sen (θ ) cos (θ ) = sen ( 2θ )
2
finalmente:

v sen ( 2θ )
x=−
g
2

(4)

G

.

De (4) vemos que el alcance será máximo
cuando sen (2θ) sea 1. Es fácil ver que esto se
cumple cuando 2θ = 90º; o sea en θ = 45º. En
este caso, el alcance será simplemente:
ne
z

2

FíD sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

v
x=−
g

Esto es válido siempre y cuando el móvil
regrese al nivel desde que fue disparado.

Modificando el programa de MATLAB,
para que calcule el alcance máximo:
function [y,x]=tirop(v,teta);

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

g=9.81; % Aceleracion gravitacional
teta=pi*teta/180; % Convierte de grados a radianesxmax=v^2*sin(2*teta)/g;
disp ('Alcance maximo: ')
disp (num2str(xmax))
x=0:1/1000:xmax; % Genera un vector desde 0 a xmax
y=(-g/(2*v^2*(cos(teta)^2)))*x.^2+tan(teta)*x;

Para la altura máxima que alcanza el móvil,
partimos del hecho que la velocidad es nula en
este punto, de tal forma que:

Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

v y = gt + v y 0
t=−

vy 0
gv sen (θ )
t=−
g

(5)

Sustituyendo el tiempo calculado en la ecuación
de la trayectoria:

⎛ v sen (θ ) ⎞
1 ⎛ v sen (θ ) ⎞
y = g⎜−
⎟ + v sen (θ ) ⎜ −
⎟
2⎝
g
g
⎠
⎝
⎠
Fí
D sic
20 an a
05 iel IV
M
ar
tí

ne
z

G

.

2

1 v sen (θ ) v sen (θ )
−
y= g
2
2
g
g
2

2

2

2

v sen (θ ) v sen (θ )
y=
−
2g
g
2

2

2

2

finalmente:

v...