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Universidad de Chile

sábado 08 de septiembre del 2013

Economía & Negocios

PAUTA CONTROL 2

MES 205: Métodos Matemáticos III
Profesor: Pablo Gutiérrez
Ayudante: Héctor Herrera.,

PROBLEMA 1. (50 ptos.)
Parte i. (20 ptos)
x y2 z3
Mostrar que y x 2 z 3 es divisible por x  y  .
z z 2 x3
Respuesta:
Se sabe que si se desea calcular determinantes y se realiza la siguienteoperación elemental
eij   , entonces la matriz resultante tendrá el mismo determinante que que la matriz anterior.
Por tanto.
_________________________________________________5 ptos.___________
x y2 z3
x
y2
z3
y x 2 z 3  e12  1 y  x x 2  y 2 z 3  z 3
z z 2 x3
z  x z 2  y 2 x3  z 3

x
= yx
zx

y2
x  y x  y 
z  y z  y 

z3
 e13  1
0
x  z  x 2  xz z 2





x
y2
z3
 y  x x  y x  y 
0
2
z  x z  y z  y  x  z  x  xz  z 2
_________________________________________________5 ptos.___________
Luego, de la segunda fila se puede factorizar x  y  .



x
x  y   1
zx

y2
x  y 
z  y z  y 



z3
0
2
x  z  x  xz  z 2





 es divisible siempre que el det  0_________________________________________________10 ptos.___________
Parte ii (20 ptos)
Ejercicio página 50 del lay

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PAUTA CONTROL 2

 3   5   4 
     
Sea el siguiente conjunto de vectores   3 ,  7 ,  2  . Determinar si el conjunto es o no
 6   0   3 
     Linealmente independiente. En caso de que el conjunto sea L.D determinar una relación de
dependencia lineal.
Respuesta:
Se resuelve el siguiente sistema homogéneo:
 3 5 4  x1  0
  3 7 2   x   0 

 2   
 6 0 3  x3  0
_________________________________________________5 ptos.___________
Para eso, se escalona la matriz de coeficientes del sistema:

4
 3 5 4
 3 54
3 5
3 5
 5 
 3 7 2  e 10 12 6  e  20 12

6   e32    0 12
21
31





 6
 6 0 3
6 0 3
0  10  5
0 0
_________________________________________________5 ptos.___________

4
6
0

Por tanto, el conjunto es LD.
Para encontrar la relación lineal correspondiente, lo que se hace es despejar el sistema homogéneo.
Para esto, separte por la segunda fila y se llega a que:

x3  2x2
Luego, se despeja en la primera fila y se llega a que:

x1  x2
Por tanto, la solución general del sistema homogéneo es:

1 
x3 1 
 2
Por tanto, con x3  1 se llega a que:

_________________________________________________5 ptos.___________
3  5 
 4
 3  7  22
   
 
6  0
3 _________________________________________________5 ptos.___________
Parte iii (10 ptos)

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 

Demuestre que A1

1

PAUTA CONTROL 2

A

Respuesta:
Se sabe que:

A1  A  I

 

Además, como A

1 1

(1)

es la inversa de , se debe cumplir que:

 

A1  A1

1

I(2)

Igualando (1) con (2) se tiene que
_________________________________________________5 ptos.___________

 

A1  A  A1  A1
Multiplicando por A por la izquierda, se tiene que:

1

 
I  A  I  A 
A  A 

A  A1  A  A  A1  A1

1

1 1

1 1

_________________________________________________5 ptos.___________
PROBLEMA 2. (50 ptos.)
Parte i)
(30ptos.)
Se desea hacer el asado de fin de curso, y se decide comprar tropical, melón con vino y carne.
Se sabe que el precio de cada unidad (litro) de tropical es 1.000, igual que el precio de cada
unidad (litro) de melón con vino, sin embargo, la unidad (kilo) de carne vale 3.000. El
presupuesto asignado al asado es de 100.000. Además, la suma de las unidades de cada
producto debe ser...