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EXAMEN DE CÁLCULO. PRIMER CONTROL (50%) GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. 20-10-2011
1) Sea

f ( x) =

x −1 x x+3

a) Hallar el dominio de f y obtener, si existen, las asíntotas verticales(por la izquierda y/o por la derecha) de f ¿Es f acotada superiormente en su dominio ? Razonar la respuesta. b) Obtener, si existen, las asíntotas horizontales (en el − ∞ y/o en el + ∞ ) de f ¿Tienef alguna asíntota oblicua? Razonar la respuesta. c) Representar en el plano las asíntotas y la posición de la curva y = f (x ) respecto a las mismas. Solución. a) Dom f = {x ∈ R / x ≠ 0 y x + 3 > 0} ={x ∈ R / x ≠ 0 y x > −3} = (− 3 , + ∞ ) − {0}

x → −3 +

lim

f ( x) =

x → −3 + x x + 3

lim

x −1

=

−4 0−

(0.3p.)

= +∞

x = −3 es una asíntota vertical por la derecha. Nolo es por la izquierda ya que la función f no está definida para valores de x menores que − 3 .
x →0 −

lim f ( x) = lim

x −1

x →0 − x x + 3

=

−1 0−
−1 0+

(0.3p.)

= +∞

x →0 +lim f ( x) = lim

x −1

x →0 + x x + 3

=

= −∞

x = 0 es una asíntota vertical por la izquierda y por la derecha
(0.6p.)

El conjunto imagen de f no está acotado superiormente ya quex→0−

lim f ( x ) = +∞ . Por tanto,

f no es acotada superiormente en su dominio.
(0.3p.)

No hay asíntota horizontal en el − ∞ ya que el dominio de f es un conjunto acotado inferiormente ypor tanto no tiene sentido calcular el límite de f (x ) cuando x → −∞ .
(0.3p.)

b)

1 1− x −1 x = 1 = 0+ lim f ( x) = lim = lim +∞ x → +∞ x → +∞ x x + 3 x → +∞ x + 3
y = 0 es asíntotahorizontal en el + ∞
No hay asíntota oblicua en el − ∞ por la misma razón que no la había horizontal. Tampoco hay asíntota oblicua en el + ∞ ya que la hay horizontal.
(0.9p.)

(0.3p.)

Manuel JoséFernández,

mjfg@uniovi.es

c)

(1p.)

2) Sea

⎧ x. log( x) f ( x) = ⎨ 2 ⎩1 − x

, x >1 , x ≤1

a) Utilizar la definición de derivada lateral, para responder a las siguientes preguntas: ¿Es...