nota

Traza de una Matriz Cuadrada
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM
a
10 de septiembre de 2008

´
Indice
7.1. Definiciones y propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
7.2. La traza de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.

1
3

Definiciones y propiedades b´sicas
a

A pesarde su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollos
posteriores. Veremos su definici´n y sus propiedades b´sicas. En la lectura posterior se entender´ su aplicaci´n.
o
a
a
o
Definici´n
o
Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal:
m

aii = a11 + a22 + · · · + amm

tr(A) =
i=1

Enparticular:
tr(In ) = n, y tr(Jn ) = n
Ejemplo
Determine la traza de la matriz:




1 −1
2
A =  0 −3 −1 
−2 −3
8

Soluci´n
o
Directamente de la definici´n
o
tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6⋄

Lema 7.1
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (k A) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3. tr (A′ ) = tr (A)

(1)

Demostraci´n
o
1. Tomemos C = k A, as´ cij = k aij y por tantoı

i=1

i=1

i=1

aii = k tr (A)

(k aii ) = k

cii =

tr (k A) = tr (C) =

m

m

m

3. Si C = A′ , cij = aji y as´ cii = aii :
ı
m

m

tr A′ = tr (C) =

aii = tr (A) ⋄

cii =
i=1

i=1

Ejercicio 1
Sean A y B matrices m × m, demuestre que
tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
Sugerencia
Tome C = A + B, as´ cii = aii + bii . Aplique ahora la definici´n de la traza.ı
o
Ejercicio 2
Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces
tr (AB) = tr B′ A′
Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto.
Ejercicio 3
Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

A=

tr (AB) = tr B′ A′


−2 1
1 2 3
yB= 2 3 
3 2 1
4 1

Lema 7.2
Sea A una matriz cuadradaparticionada tal que

A11 A12 · · ·
 A21 A22 · · ·

A= .
.
..
.
 .
.
.
.
Ak1 Ak2 · · ·

A1k
A2k
.
.
.
Akk







Entonces
tr (A) = tr (A11 ) + tr (A22 ) + · · · + tr (Akk )
2

Demostraci´n
o
Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenaci´n de las diagonales
o
principales de las matrices Aii .

7.2.

La traza deun producto

Teorema 7.3
Sean A y B matrices m × n y n × m respectivamente.
tr (AB) = tr (BA)

Demostraci´n
o
Tomemos C = AB, as´
ı

n

cij =

aik bkj
k=1

Para j = i la f´rmula anterior queda:
o

n

cii =

aik bki
k=1

As´
ı:

m

m

n

n

Por otro lado si D = BA, as´
ı

bki aik
k=1 i=1

k=1 i=1

i=1 k=1

i=1

m

aik bki =

aik bki =

cii =tr (C) =

n

m

m

dij =

bik akj
k=1

Para j = i la f´rmula anterior queda:
o

m

dii =

bik aki
k=1

As´
ı:

n

n

m

dii =

tr (D) =

bik aki
i=1 k=1

i=1

Comparando las f´rmulas:
o
n

n

m

m

bki aik y tr (BA) =

tr (AB) =

bik aki
i=1 k=1

k=1 i=1

Concluimos que, intercambiando los nombres de los ´
ındices i y k, tr (AB) = tr(BA)⋄

Ejercicio 4

3

Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que
tr (AB) = tr (A) · tr (B)

Sugerencia
Pi´nselo f´cil. Tome por ejemplo
e
a
A=

1 0
0 0

.

Ejercicio 5
Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

A=

tr (AB) = tr (BA)


−2 1
1 2 3
yB= 2 3 
3 2 1
4 1

Ejercicio 6
Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple
tr(ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segunda
igualdad tome D = A y E = B C y aplique el mismo teorema.
Ejercicio 7
Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple
tr (ABC) = tr B′ A′ C′ = tr A′ C′ B′

Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como v´lido el ejercicio 2. Para...