notación sigma

Notación Sigma
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 

Ésta se puede representar como la suma de los  primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denominade la letra griega  (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera: 

La ecuación anterior se lee la "suma de  desde  hasta ." La tetra k en el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de laecuación.


Ejemplo # 1
Calcule la siguiente Serie:

Solucion:

Ejemplo # 2

Solucion:

Ejemplo # 3

Solucion:

Ejemplo # 4

Solucion:

Ejemplo # 5
Exprese cada suma en notacion sigma:
(a) 
Solucion:

Ejemplo # 5
(b)
Solucion:

Sin embargo, no hay forma unica de escribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:
Solucion
(a)(b)
Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los numeros naturaleza


Propiedades de las sumas
Sean las sucesiones
y
Entonces, para todo entero positivo  y todo numero real , sabemos: 
1.  

2.  

3.  

4.  

5. 

6.
Demostracion
Para la demostracion de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera: 

paraobtener:

Sabemos que la suma es asociativa y comnumatativa por lo que los terminos se reordenan y queda de la siguiente manera: 

y sabemos que la sucesion  y  se puede escribir en notacion sigma de la siguiente manera:
ypor lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad: 

La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos acabo. Para la 3 propiedad utilizaremos lapropiedad distributiva de la suma: 

como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:

y por notacion sigma sabemos que:

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad: 



Notación Sigma
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma  (sigmamayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:


Si queremos expresar lasuma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:


Algunos ejemplos adicionales:

Propiedades:


Fórmulas Interesantes:


Series y Sucesiones
Sucesiones
Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un término general se utiliza la letraa ó s, y las variables con la letra minúscula n.
 Ejemplos:









Serie:
Es la sumatoria de una sucesión
Ejemplos:





Tipos de series:
Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.
Series infinitas: el número de términos es ilimitado.
Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito
        Crecientes:   a1 < a2 <a3 <……< an (va aumentando término a término)
            Decreciente:  a1 > a2 > a3 >……> an   (va disminuyendo término a término)

Algunos tipos de series


Serie Geométrica:
Es aquella serie cuyo término de formación es:

donde:
a es una constante,
r  es la base
 

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para...