Notacion Indicial

Notaci´on indicial
En Mec´anica de Medios Continuos los objetos matem´aticos m´as empleados son los
escalares, vectores y tensores en R3. Para trabajar con vectores se define una base de vectoresortonormales B1 = {e1, e2, e3} de forma que todo vector v 2 R3 se puede expresar como la
siguiente combinaci´on lineal
v = v1e1 + v2e2 + v3e3 . (1)
Utilizando sumatorios se puede escribir laecuaci´on previa de una forma m´as compacta:
v =
X3
p=1
vpep . (2)
Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el s´ımbolo de sumatorio e indicar
sus l´ımites, pues siempre son los mismos.Por ello se adopta la siguiente convenci´on: en vez
de (1) o (2) se escribe
v = vpep . (3)
En esta expresi´on, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo
´ındicerepetido, se entender´a que vpep significa v1e1 +v2e2 +v3e3. En vez del sub´ındice p se
podr´ıa haber empleado cualquier otro, y as´ı
vpep = vqeq = viei , (4)
por lo que el ´ındice repetido sedenomina mudo. Se dice que la expresi´on (3) emplea notaci´on
indicial o tambi´en el convenio de Einstein.
Dos vectores a y b son iguales si apep = bpep. Esta igualdad se puede reescribir como
(ap −bp)ep = 0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la ´ultima
expresi´on requiere que cada componente se anule, es decir, ap − bp = 0, o de otra manera
ap = bp . (5)
De este simpleejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo ´ındice
en varios lugares, pero no multiplic´andose, quiere decir que la igualdad es v´alida cuando el
´ındice toma el valor 1,2 ´o 3.Un ´ındice de este tipo se denomina libre y puede intercambiarse
por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo,
la identidad (5) quiere expressar(a1 = b1
a2 = b2
a3 = b3
(6)
N´otese que en la identidad anterior (5) no hay ning´un ´ındice mudo, pues aunque
p aparezca en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no est´an...