Notaciones En El Calculo Diferencial

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Notaciones en el Cálculo Diferencial
1. Introducción 2. Notaciones
2.1. Lagrange 2.2. Newton 2.3. Arbogast 2.4. Leibniz
2.4.1. Diferencias y diferenciales 2.4.2. Derivada de primerorden 2.4.3. Derivadas de segundo orden y superior 2.4.4. Más sobre diferenciales Aplicación a la resolución de integrales indefinidas

2.5. Comentarios sobre las notaciones 2.6. Derivadas parciales

3. Formas de derivación
3.1. Explícita 3.2. Implícita

4. Algunas propiedades
4.1. Derivada de la función inversa 4.2. Derivada de una funciones en forma paramétrica 4.3. Regla de la cadena4.4. Ejemplos de operaciones con diferenciales

5. Referencias

1. Introducción
Dada una función continua y = f(x), su derivada clásica (existen otras definiciones para funciones deterministas, e incluso para funciones aleatorias o estocásticas) se define, para cada punto x, como lim h → 0 f ( x+h)− f (x ) f ( x +h)− f ( x) =lim h → 0 . ( x+h)−( x) h

En el dominio de valores de x en el queeste límite, que siempre es una indeterminación de la forma 0/0, existe, queda definida una nueva función que se llama la derivada de f(x). Se dice entonces que f(x) es una función derivable o diferenciable. El límite, y por tanto la derivada, existen en las partes del dominio donde f(x) es «suave» (además de continua, por definición), lo que puede verse en su gráfica. El proceso se puede iterarconsiderando a la derivada como nueva función sobre la que calcular el límite anterior; esta iteración daría lugar a la segunda derivada, tercera, cuarta y enésima. Una forma de clasificar las funciones continuas en espacios de funciones consiste en considerar el número de derivadas que existen: ninguna, una, dos,... o infinitas. En este último caso, se dice que la función es analítica, y admite unarepresentación como serie infinita de potencias xk. Dado que existen distintas notaciones para estas derivadas, se enumeran brevemente aquí las más importantes y se dan algunos ejemplos de la notación más extendida. En Ciencia, elegir la notación adecuada es muy importante para los usuarios de todos los niveles, pero sobre todo para los noveles.

1

2. Notaciones
2.1. Lagrange
La notaciónintroducida por Lagrange a finales del siglo XVIII es: (a) (b) (c) (d) f ' , f ' ' , f ' ' ' , f , f ,⋯ f (1) , f (2) , f (3 ) , f (4 ) , f (5) ,⋯ y ' , y ' ' , y ' ' ' , yiv , y v ,⋯ y , y , y , y , y ,⋯
(1) (2) (3) (4) (5) iv v

ó ó ó ó

f ' ( x) , f ' ' (x) , f ' ' ' ( x) , f (x) , f ( x) ,⋯ f (1) ( x) , f (2) ( x ) , f (3) ( x) , f (4) (x ), f (5) ( x) ,⋯ y ' ( x) , y ' ' ( x) , y ' ' ' (x), y iv ( x) , y v ( x) ,⋯ y ( x) , y ( x ), y ( x) , y (x ) , y ( x) ,⋯
(1) (2) (3) (4) (5)

iv

v

2.2. Newton
La notación introducida por Newton (hacia 1671) es: (e) (f) ˙ f f f , ¨ , ⃛ ,⋯ y , y , ⃛ ,⋯ ˙ ¨ y ó ó ˙ ¨ f ( x ) , f ( x ) , ⃛ ( x ),⋯ f y (x ) , y ( x ), ⃛ (x ),⋯ y ˙ ¨

2.3. Arbogast
La notación introducida por Arbogast en 1800 se basa en el operador derivación: (g)
D f, D f , D f ,⋯
2 3

ó

D f (x ), D f (x ) , D f ( x ) ,⋯

2

3

2.4. Leibniz
La notación de Leibniz (1684), la más utilizada, es: (h) (i) df d 2 f d 3 f , , ,⋯ dx dx 2 dx3 dy d 2 y d 3 y , , ,⋯ dx dx 2 dx 3 ó ó df ( x) d f (x ) d f (x ) , , ,⋯ 2 3 dx dx dx dy (x ) d 2 y ( x) d 3 y ( x) , , ,⋯ dx dx 2 dx3
2 3

ó ó

df d2 f d3 f (x), ( x) , 3 ( x) ,⋯ dx dx 2 dx dy d2 y d3 y ( x) , 2(x ) , 3 ( x ),⋯ dx dx dx

2.4.1. Diferencias y diferenciales
Se definen las diferencias Δ y= y 2− y 1= y ( x+h)− y ( x) y Δ x=x 2 −x 1=x+h−x=h. Estas diferencias a veces representan incrementos, si su valor es positivo, o decrementos, si son negativos. Se definen las diferencias de segundo orden como Δ 2 y=Δ (Δ y) y 2 Δ 2 x=Δ(Δ x ).

De forma análoga se definen las diferencias de orden...