notario

Premios del Departamento de Matemáticas
de la Universidad Autónoma de Madrid
para Estudiantes de Secundaria
Primera Edición, 2006/2007

TRABAJO: Juegos matemáticos
GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO
AUTORES:
o
o
o
o

David Alfaya Sánchez
Gabriel Fürstenheim Milerud
Diego Izquierdo Arseguet
Florencio Michelena Machado

TUTORES:
o María Gaspar Alonso Vega
CENTRO: ESTALMAT(Madrid)

JUEGOS MATEMÁTICOS

Los Espingorcios
2007

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
En este trabajo vamos a analizar tres juegos: los discos de Rubik, el cubo de Rubik y las
Torres de Hanoi desde un punto de vista matemático. Remarcando así una parte lúdica
de las matemáticas, la teoría de juegos.

ANTECEDENTES
Aunque existe numerosa bibliografía con respecto a todos los juegos tratados(con
excepción de los discos de Rubik), decidimos no basarnos en ella y realizar un trabajo
independiente, contrastándolo una vez ya realizado.

2

LOS DISCOS DE RUBIK
El juego está formado por dos discos, con dos puntos de unión, con bolitas de
colores como se indica en la foto:
El objetivo del juego es conseguir que
las bolas amarillas se encuentren en el
centro, las rojas de un lado ylas azules
de otro.
Vocabulario
Llamamos al disco de la izquierda A y
al de la derecha B.
Cuando giramos un disco K 1 bolita en
el sentido de las agujas del reloj,
escribimos K + , y si es en sentido
contrario al de las agujas del reloj,
escribimos K − .
Sean α y β las intersecciones superior e
inferior respectivamente.
Numeramos las posiciones en A y B a partir de α (numerado 0) ensentido de las agujas
del reloj para A y B, siendo β la posición 6 de los dos aros.
Resolución
Primero procedemos a poner todas las bolas amarillas en el centro dejando antes
siete bolitas amarillas seguidas en un lado y cinco en el otro (es trivial que se puede
hacer).
Para el resto de la resolución vamos a utilizar los siguientes movimientos, en los que
la zona central permanece amarilla,girando todas las bolas menos la especificada:
1.- B + A− B − A+ B − A− (Permanece invariante B-7, el resto de rojas y azules giran en el
sentido antihorario)
2.- A+ B + A− B + A+ B − (Permanece invariante B-7, las demás giran en sentido horario)
3.- A− B + A+ B − A+ B + Permanece invariante, A 7, giran en sentido horario)
4.- B − A− B + A− B − A+ (Permanece invariante A 7, giran en sentidoantihorario)
Demostración del movimiento 1:
Cuando realizas el movimiento B + la bolita de la posición B-7 pasa a la posición
β. En el movimiento A− la bolita que está en la posición β pasa a la posición A 5 y la
bolita que está en A 7 pasa a la posición β. Al realizar el movimiento B − esta última
bolita pasa a la posición B-7. En el movimiento A+ la que está en A 5 pasa a β. Con elmovimiento B − de β pasa a B-7 y la bolita que está en B 1 pasa a α. Por último, el
movimiento A− mueve la bolita de α a A-1 y la bolita amarilla que estaba descolocada
en A 7 se coloca en β. De esta forma: la bolita que estaba en B 1 pasa a A-1, la que
estaba en posición A 7 pasa a B-8 y la bolita en B-7 permanece constante. C.Q.D.
Es decir:
- la bolita que está en la posición B − 7 → β → A 5 → A 5→ β → B − 7 → B − 7
3

-

la bolita en A 7 → A 7 → β → B − 7 → B − 7 → B − 8 → B − 8
la B 1 → B 2 → B 2 → B 1 → B 1 → α → A − 1
y: Bn → Bn + 1 → Bn + 1 → Bn → Bn → Bn − 1, ∀n ∈ 2,10 .

-

An → An → An − 1 → An − 1 → An → An → An − 1, ∀n ∈ −1, −10 .

Quedan así demostradas las propiedades enunciadas sobre este movimiento.
Los otros movimientos se prueban de forma análoga.
Ahora sólonos queda demostrar que, una vez colocadas las bolitas amarillas, es
posible resolver los discos de Rubik mediante los movimientos 1, 2, 3 y 4 únicamente.
Partimos de una disposición cualquiera de las bolitas rojas y azules, estando las
amarillas ya situadas en el centro.
Suponemos, sin pérdida de generalidad, que en la posición B-8 hay una bolita roja, y
que hay k bolitas rojas en las...