Notas 05_065 Complete

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Métodos Numéricos de resolución de Ecuaciones
en Derivadas Parciales

Enrique Zuazua
Basque Center for Applied Mathematics (BCAM),
Bilbao, Spain
zuazua@bcamath.org
http://www.bcamath.org/zuazua/
January 2009

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1

Índice general
1. Introducción al numérico de EDP’s

1

1.1. Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. La ecuación del calor . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Propiedades básicas de la ecuación del calor . . . . . . . .

6

1.2.2. Semi-discretización espacial: El método de Fourier . . . .

11

1.2.3. Semi-discretización espacial: El método de la energía . . .

32

1.2.4. Consistencia + estabilidad = Convergencia . . . . . . . .

37

1.2.5. Aproximaciones completamente discretas . . . . . . . . .

41

1.2.6. Elanálisis de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.2.7. El método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . .

58

1.3. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

1.3.1. Propiedades básicas de la ecuación de ondas 1 − d . . . .

64

1.3.2. Semi-discretización espacial: El método de Fourier . . . .

68

1.3.3. Semi-discretización espacial: Elmétodo de la energía . . .

80

1.3.4. Aproximaciones completamente discretas . . . . . . . . .

83

1.3.5. El análisis de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

1.3.6. El método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . .

89

2. Movimiento armónico en una dimensión
2.1. La ecuación de ondas y sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . .

93
97

2.2. La fórmula de D’Alembert . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3. Resolución de la ecuación de ondas mediante series de Fourier . . 103
2.4. Series de Fourier como método numérico . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5. La ecuación de ondas disipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.6. Teoría de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.7. La ecuación de ondas con coeficientesvariables . . . . . . . . . . 142
2.8. Semi-discretización de la ecuación de ondas semilineal . . . . . . 151
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3. La ecuación de transporte lineal
3.1. Dispersión numérica y velocidad de grupo . .
3.2. Transformada discreta de Fourier a escala h .
3.3. Revisión de la ecuación de transporte y sus
través de la transformada discreta de Fourier

ÍNDICE GENERAL

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .aproximaciones
. . . . . . . . .

155
. . 174
. . 182
a
. . 186

4. Ecuaciones de convección-difusión
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. La ecuación de Burgers y la transformación de Hopf-Cole . . . .
4.3. Viscosidad evanescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Aplicación del “splitting” a la ecuación de Burgers . . . . . . . .
4.5.Ecuaciones elípticas de convección-difusión . . . . . . . . . . . . .
4.6. Sistemas de leyes de conservación y soluciones de entropía . . . .
4.7. Esquemas numéricos de aproximación de leyes de conservación
escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197
197
198
204
211
212
217

5. Elproblema de Dirichlet en un dominio acotado
5.1. Reducción al problema de valores de contorno no homogéneos
5.2. El problema de contorno no homogéneo . . . . . . . . . . . .
5.3. La desigualdad de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Un resultado de trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Principio del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271
272
273275
276
279

6. Diferencias y volúmenes finitos
6.1. Diferencias finitas para coeficientes variables 1 − d
6.2. Volúmenes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Diferencias finitas para coeficientes variables: varias
espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

234
253

283
. . . . . . . . 283
. . . . . . . . 287
dimensiones
. . . . . . . . 289

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