Notas De Algebra Lineal

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería. M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia Grupo: Semestre: 2010-2

TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES. Definición. Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por un escalar, tales que:I) II) III) IV) V) VI) La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único elemento ū + V, llamado la suma de ū y . ū, , V: ū+( + ) = (ū+ )+ . ō V tal que ō + = , V. V – V tal que – + = ō ū, α: u+ = + ū La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de elementos de α k y V un único elemento α k llado el producto de α por . α k; ū, V: α(ū+ ) = αū+ α α,βk; V: (α+β) = α + β α,β k; V: α(β ) = (αβ) Si 1 es la unidad de k 1 = , V

VII) VIII) IX) X)

A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares. Ejemplo. R3; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ F,f: R→R √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Pn M2x2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

I II III IV V VI VII VIII IX X

Ejemplo. Sea el conjunto S = {ax2 + ax + b )│a,b R} en R y las leyes de adicióny multiplicación por un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.

i) CERRADURA P1 = a1x2 + a1x + b1

; P2 = a2x2 + a2x + b2 se cumple S R

P1 + P2 = (a1 +a2)x2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2) ii) ASOCIATIVIDAD P1 + (P2 + P3) = (P1 + P2) + P3

P1 + [(a2 + a3)x2 + (a2 + a3)x + (b2 + b3)] = [(a1 + a2)x2 + (a1 + a2)x + (b1 + b2)] + P3 (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) =(a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) Se cumple iii) E ELEMENTO IDENTICO ō + P1 = P1 (ex2 + e1x + ei1) + (ax2 + ax + b) = ax2 + ax + b (e + a)x2 + (e + a)x + (ei + b) = ax2 + ax + b e+a=a e+a=a ei + b = b e=0 e=0 ei = 0 (0)x = (0)x2 +(0)x +0

iv) E ELEMENTO INVERSO - + =0 +p=0 (Ix2 + Ix + d) + (ax2 + ax + b) = (0)x2 +(0)x +0 (I + a)x2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x2 +(0)x +0 I+a=0 I+a=0 d+ b = 0 I = -aI = -a d = -b = ax2 + ax + b

- =

v) CONMUTATIVIDAD P1 + P2 = P2 + P 1 (a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2) = (a2+a1)x2 + (a2+a1)x + (b2+b1) vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR αp = S αp = αax2 + αax + αb S Se cumple

vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR α(P1 + P2) = αP1 + αP2

α*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)] = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (αa2x2 + αa2x + αb2) (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+αb2) = (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) Se cumple viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR (α + β)p = αp + βp (α + β)a1x2 + (α + β)a1x + (α + β)b1 = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (βa1x2 + βa1x + βb1) (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) = (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) Se cumple. ix) α(βp) = (αβ)p α (βax2 + βax + βb) = αβax2 + αβax + αβb αβax2 + αβax + αβb = αβax2 + αβax + αβb X) UNIDAD DELCAMPO 1p = p 1ax2 + 1ax + 1b = ax2 + ax + b S es un campo vectorial -DEFINICIÓN DE SUBESPACIO. Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y multiplicación por un escalar definidas en V. Teorema Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si y solo si . 1) ū + = S;Para todo ū, S 2) αū = S; Para todo α K, ū S Demostración V = E3 S = Plano XY S = {(x, y, 0)│x, y R} Determine si S es un subespacio. Solución: 1) ū + = S; Para todo ū, S (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2,0) Se cumple

Se cumple

S

Se cumple

2) αū = S; Para todo α K, ū S α(x1, y1, 0) = (αx1, αy1, 0) S S es un subespacio vectorial de V Ejemplo Sea п = ,(x, y, z)│ x + y -z =2; x, y, z R}

Se cumple

Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: x + y -z = 2 ; z = x + y –2 п = , (x, y, x + y -2)│x, y I)
1

R}
2

= (x1, y1, x1 + y1 -2) ;
2

= (x2,y2, x2 + y2 -2)

1+

= [x1 + x2, y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2) –4] п no es un espacio vectorial.

Ejemplo. Sea...