notas de algebra vectorial gpo61

1.- Álgebra vectorial.
§1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferencia
de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22);
§1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores
(24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial de
superficies (29);§1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble producto
vectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base
vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)

§1.1. Escalares y vectores.- Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como
la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, ... que quedancompletamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen
otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo
eléctrico, ... que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino
que llevan asociadas una dirección y un sentido. Estas últimas magnitudes son
llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadasescalares.
Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más
simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente
matemático que recibe el nombre de vector.
En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa
por un segmento orientado1. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes
elementos: su longitud omódulo, siempre positivo por definición; su dirección,
determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que
podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la dirección
antes mencionada. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud que tienen módulo, dirección y sentido.
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos porletras en
negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En la pizarra representaremos
las magnitudes vectoriales colocando una flechita sobre la letra que designa su

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Este significado de la palabra vector es una ampliación natural de su utilización inicial en
la astronomía, hoy en desuso: "recta imaginaria que une a un planeta, moviéndose alrededor del
centro o foco de unacircunferencia o elipse, con dicho centro o foco".

Manuel R. Ortega Girón

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Lec. 1.- Álgebra vectorial.

módulo (que es un escalar). Así, por ejemplo; A, V, W, ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, V, W, ... También representaremos
el módulo de una magnitud vectorial encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: A , V , W , ... Cuando nosconvenga, representaremos la
magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado
que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en
la Figura 1.1 en la forma A=MN, B=OP, ... resultando muy útil esta notación para los
vectores desplazamiento.
Para que dos vectores sean iguales (equipolentes) no basta que tengan el mismo
módulo, sino queademás es preciso que actúen según la misma dirección y sentido.
En lo que sigue, mientras que no se advierta otra cosa, consideraremos los llamados
vectores libres, para los cuales dos direcciones son equivalentes con tal de que sean
paralelas. Por consiguiente, diremos que dos
vectores libres son iguales si tienen el mismo
módulo, la misma dirección y el mismo sentido,
aunque sus rectas de acción(directrices) sean
diferentes. De este modo, en la Figura 1.1 es
A = B = C = D = E.
Por el contrario, en los llamados vectores
deslizantes, el criterio de igualdad exige que los
vectores tengan el mismo módulo y que actúen en
un mismo sentido sobre una misma recta de acción,
siendo indiferente el punto de la recta en que estén
Figura 1.1
aplicados. Así, en la Figura 1.1, tan sólo es C = D....